Ботт: периодичность

Что вычислялось

К середине 1950-х годов гомотопические группы сфер оставались хаосом (Серр научился считать отдельные случаи, но общей картины не было). Естественно было посмотреть на другие важные пространства — например, на классические группы: унитарную $U(n)$, ортогональную $O(n)$, симплектическую $Sp(n)$.

При растущем $n$ группы $\pi_k$ перестают зависеть от $n$ — говорят о стабильных группах $\pi_k(U)$, $\pi_k(O)$. Их-то Рауль Ботт (1923–2005), работавший тогда в Мичиганском университете в Энн-Арборе, и вычислил.

Теорема Ботта о периодичности (1957).
$$\pi_k(U)\ \cong\ \begin{cases}0,& k \text{ чётно},\\ \mathbb{Z},& k \text{ нечётно},\end{cases}$$
то есть период равен двум. А для ортогональной группы период равен восьми:
$$\pi_0,\dots,\pi_7(O)\ =\ \mathbb{Z}/2,\ \mathbb{Z}/2,\ 0,\ \mathbb{Z},\ 0,\ 0,\ 0,\ \mathbb{Z},$$
и дальше всё повторяется.

Сравните с гомотопическими группами сфер, где нет ни закономерности, ни формулы. Здесь — идеальная периодичность, взявшаяся ниоткуда.

Ботт говорил, что сам не понимает, почему так; фразу «периодичность — это чудо» приписывают именно ему, и она вошла в обиход.

Как доказано

Первое доказательство — методами теории Морса, и оно показывает, зачем эта теория нужна.

Идея: гомотопические группы группы Ли связаны с гомотопическими группами её пространства петель (приём Серра). А пространство петель на симметрическом пространстве можно изучать, рассматривая функцию энергии на путях: её критические точки — геодезические, а индексы критических точек считаются явно.

Ботт показал, что критические точки этой функции образуют красивую конечномерную картину, и из неё пространство петель восстанавливается с точностью до нужной размерности. Получается рекуррентное соотношение, которое и замыкается в цикл.

Позже появились другие доказательства — через K-теорию (Атья и сам Ботт, 1964), элементарное доказательство Атьи — Ботта — Шапиро через алгебры Клиффорда. Последнее объясняет и происхождение восьмёрки: алгебры Клиффорда $\mathrm{Cl}_n$ над вещественными числами тоже периодичны с периодом восемь, и это та же самая восьмёрка, что стоит за существованием октонионов и за исключительными объектами в размерности 8.

Зачем это понадобилось

Периодичность Ботта — фундамент K-теории.

Александр ГротендикАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне. придумал группу $K(X)$ — формальные разности векторных расслоений над пространством (точка о нём) — для нужд алгебраической геометрии. Атья и Хирцебрух в 1959 году превратили это в обобщённую теорию когомологий: последовательность групп $K^{n}(X)$ с длинными точными последовательностями и всеми свойствами, кроме аксиомы размерности Эйленберга — Стинрода.

Именно теорема Ботта делает это возможным: она даёт изоморфизм

$$K^{n}(X)\ \cong\ K^{n+2}(X),$$

то есть теория периодична, и вместо бесконечной последовательности групп достаточно двух. Без периодичности конструкция не замкнулась бы.

А K-теория, в свою очередь, — язык, на котором сформулирована и доказана теорема об индексе Атьи и Зингера. Цепочка прямая: теория Морса → периодичность Ботта → K-теория → индексная теорема.

Отдельно стоит отметить, что K-теория ушла далеко за пределы топологии: алгебраическая K-теория колец (Квиллен, МилнорДжон Милнорамериканский математик · 1931–2025Нашёл семимерные сферы, гомеоморфные обычной, но не диффеоморфные ей, — и обнаружил этим, что топологическая структура и гладкая не одно и то же. Пытался доказать противоположное.), K-теория операторных алгебр (Конн), классификация топологических изоляторов в физике конденсированного вещества — везде работает та же периодичность.

Ботт

Родился в Будапеште, вырос в Словакии, учился на инженера-электрика и математику выбрал не сразу — первые его работы посвящены теории электрических цепей (теорема Ботта — Даффина о синтезе цепей до сих пор в учебниках по электротехнике).

С 1951 по 1959 год он в Мичигане, где и получена периодичность; затем сорок лет в Гарварде. Ему принадлежат теорема Атьи — Ботта о неподвижных точках, формула вычетов Ботта, теорема БореляЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши. — ВейляГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. — Ботта, а также книга «Differential Forms in Algebraic Topology» (с Лоринг Ту) — один из лучших учебников предмета.

Премия Вольфа 2000 года. Учениками его были, среди прочих, Стивен СмейлСтивен Смейламериканский математик · род. 1930Доказал гипотезу Пуанкаре сразу для всех размерностей от пяти и выше — тех, что считались самыми трудными; выяснилось, что чем больше места, тем проще. и Дэниел Квиллен.

Задача. Проверьте согласованность периодичности с известным: $\pi_1(U(1))=\mathbb{Z}$ (окружность), и по теореме $\pi_1(U)=\mathbb{Z}$, $\pi_2(U)=0$, $\pi_3(U)=\mathbb{Z}$. Сравните с гомотопическими группами сферы $S^{2}$ из точки о Хопфе — и объясните, почему периодичность у групп есть, а у сфер её нет.
(Указание: у классических групп есть групповая структура, и пространство петель на них снова близко к группе — отсюда рекурсия. У сфер такой структуры нет; групповыми являются только $S^{1}$, $S^{3}$ и $S^{7}$, и это опять восьмёрка.)

Следующая точка: Рио-де-Жанейро — где гипотезу ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. докажут в высоких размерностях, потому что там просторнее.