Карта → событие
Экзотические ℝ⁴
Постановка вопроса
Многообразие можно рассматривать на двух уровнях. Топологический — есть только непрерывность; гладкий — есть ещё и понятие дифференцируемости, то есть согласованный атлас карт с гладкими переходами. Естественный вопрос: сколько гладких структур допускает данное топологическое многообразие?
Ответ до 1980-х выглядел так:
| Размерность | Сколько гладких структур на $\mathbb{R}^{n}$ | Кто доказал |
|---|---|---|
| 1, 2 | одна | Радо (1925) |
| 3 | одна | Мойз (1952) |
| $\geqslant5$ | одна | Столлингс (1962) |
| 4 | ? | — |
Пробел в четвёртой размерности был не случайным. Основной инструмент топологии больших размерностей — трюк УитниХасслер УитниДоказал, что всякое абстрактное многообразие можно вложить в обычное пространство, — и этим сделал понятие многообразия законным. Его «трюк» определил, почему топология в размерностях выше четырёх проще, чем в…, позволяющий развести пересекающиеся подмногообразия. Он требует, чтобы двумерный диск, по которому идёт разведение, можно было вложить без самопересечений; для этого нужна размерность не меньше пяти. В размерности четыре трюк не работает, и вся техника рассыпается. Отсюда парадокс: гипотеза Пуанкаре была доказана сначала для $n\geqslant5$ (СмейлСтивен СмейлДоказал гипотезу Пуанкаре сразу для всех размерностей от пяти и выше — тех, что считались самыми трудными; выяснилось, что чем больше места, тем проще., 1960), потом для $n=4$ (ФридманМайкл ФридманДоказал гипотезу Пуанкаре в размерности четыре — той, что считалась непроходимой, — и заодно описал все односвязные четырёхмерные многообразия одним инвариантом., 1982) и лишь в самом конце для $n=3$ (Перельман, 2003).
Форма пересечений
Главный инвариант замкнутого четырёхмерного многообразия — форма пересечений. Возьмём две двумерные поверхности внутри четырёхмерного $M$. В общем положении они пересекаются в конечном числе точек, каждой из которых приписывается знак. Сумма знаков задаёт целочисленную симметричную билинейную форму
$$Q_{M}\colon H_{2}(M;\mathbb{Z})\times H_{2}(M;\mathbb{Z})\to\mathbb{Z},$$
унимодулярную (её определитель равен $\pm1$) по двойственности ПуанкареАнри ПуанкареПоследний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага..
Майкл Фридман в 1981 году доказал теорему, закрывающую топологическую сторону вопроса: для односвязных замкнутых четырёхмерных многообразий форма пересечений (вместе с одним дополнительным инвариантом $\mathbb{Z}/2$) определяет многообразие однозначно, и, более того, каждая унимодулярная форма реализуется. За это — Филдсовская медаль 1986 года.
В частности, реализуется форма $E_{8}$ — знаменитая положительно определённая унимодулярная форма ранга 8, связанная с исключительной алгеброй Ли $E_{8}$ (точка о Киллинге в линии алгебры). Значит, топологическое многообразие с формой $E_{8}$ существует.
Теорема Дональдсона
И тут вступает Саймон Дональдсон, тогда аспирант Оксфорда у Майкла Атьи, двадцати пяти лет.
Теорема (1982, опубликована 1983). Если замкнутое односвязное гладкое четырёхмерное многообразие имеет положительно определённую форму пересечений, то эта форма диагонализуема над $\mathbb{Z}$, то есть эквивалентна $\mathrm{diag}(1,1,\dots,1)$.
Следствие немедленное и оглушительное: форма $E_{8}$ положительно определена, унимодулярна и не диагонализуема. Значит, многообразие Фридмана с формой $E_{8}$ существует как топологическое и не допускает гладкой структуры вовсе. Топология и гладкость в размерности четыре расходятся принципиально.
Метод — заимствованный у физиков. Дональдсон берёт на многообразии главное $SU(2)$-расслоение и рассматривает пространство модулей антиавтодуальных связностей — решений уравнения
$$F_{A}=-*F_{A},$$
то есть тех самых инстантонов Янга — Миллса. По теореме об индексе (Атья и Зингер) это пространство пятимерно. Дональдсон показывает, что оно является кобордизмом между самим многообразием $M$ и набором изолированных особых точек, отвечающих приводимым связностям; число этих точек определяется формой пересечений. Подсчёт «сколько концов может быть у пятимерного кобордизма» и даёт ограничение на форму.
Отдельно стоит отметить, почему конструкция живёт именно в размерности четыре. Оператор Ходжа $*$ переводит $k$-формы в $(n-k)$-формы; на 2-формах в размерности 4 он переводит их в себя же и удовлетворяет $*^{2}=1$. Только здесь пространство 2-форм распадается на автодуальные и антиавтодуальные части, и только здесь уравнение $F=-*F$ имеет смысл. Уравнения Янга — МиллсаРоберт МиллсМолодой сотрудник, деливший кабинет с Янгом в Брукхейвене, соавтор уравнений, которые оказались чистой геометрией расслоений и стали основой всей физики частиц. конформно инвариантны тоже ровно в четырёх измерениях.
Экзотические ℝ⁴
Соединяя теорему Дональдсона с классификацией Фридмана, получают то, ради чего эта точка стоит на карте.
Существование. В 1982–1983 годах из результатов Фридмана и Дональдсона выводится: существует гладкое многообразие, гомеоморфное $\mathbb{R}^{4}$, но не диффеоморфное ему. То есть на четырёхмерном пространстве есть «неправильная» гладкая структура: непрерывно оно то же самое, а гладко — другое. Явную конструкцию дал Роберт Гомпф (1983), другой вывод — Фридман и Тоубс.
Количество. Гомпф (1985) построил бесконечное семейство. Клиффорд Тоубс в 1987 году, применив теорию Янга — Миллса на многообразиях с асимптотически периодическими концами, доказал: экзотических $\mathbb{R}^{4}$ континуум — их столько же, сколько вещественных чисел.
Итоговая картина, которую стоит выписать целиком, потому что она не укладывается в голове:
$$\text{число гладких структур на }\mathbb{R}^{n}=\begin{cases}1,& n\ne4,\\ \mathfrak{c}\ (\text{континуум}),& n=4.\end{cases}$$
Ровно в размерности нашего пространства-времени — и ни в какой другой — гладкость перестаёт быть определённой топологией. Физического объяснения этому нет; является ли совпадение содержательным, обсуждают до сих пор, но никаких аргументов, кроме эстетических, ни у кого нет.
Обратите внимание и на структуру доказательства. Физическая теория, придуманная для описания ядерных сил и десять лет считавшаяся нефизичной из-за проблемы массы, стала инструментом чистой топологии. Долг, о котором говорилось в точке о ЯнгеЧжэньнин ЯнгНаписал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. и Миллсе, возвращён: сначала геометрия дала физике язык (РиччиГрегорио Риччи-КурбастроДвадцать лет разрабатывал исчисление, которым никто не пользовался, — пока Эйнштейну не понадобилось записать тяготение. — ЭйнштейнАльберт ЭйнштейнЕдинственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет.), потом физика вернула геометрии метод.
Что было дальше
В 1994 году Натан Зайберг и Эдвард ВиттенЭдвард ВиттенЕдинственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами., исходя из соображений квантовой теории поля, предложили другую систему уравнений — гораздо проще инстантонных. Оказалось, что почти все результаты теории Дональдсона выводятся из уравнений Зайберга — Виттена за несколько страниц вместо сотен. Целую отрасль математики переписали за полгода; такое случается редко.
Открытым остаётся гладкая четырёхмерная гипотеза Пуанкаре: всякое ли гладкое многообразие, гомеоморфное $S^{4}$, диффеоморфно ей? Это единственная размерность, где вопрос не решён: для $n\geqslant5$ ответ известен с 1960-х, для $n=3$ следует из работы ПерельманаГригорий Яковлевич ПерельманТремя препринтами закрыл гипотезу Пуанкаре и более общую гипотезу геометризации Тёрстона, после чего отказался от Филдсовской медали, от миллиона долларов и от математики., а для $n=4$ не помогают ни инстантоны, ни уравнения Зайберга — Виттена.
Дональдсон получил Филдсовскую медаль в 1986 году.
Задача. Форма пересечений комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^{2}$ — это $(1)$, матрица $1\times1$. Форма $S^{2}\times S^{2}$ — это $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Проверьте, что первая положительно определена, а вторая нет (её сигнатура равна нулю), и объясните, почему теорема Дональдсона накладывает ограничение только на первую.
Следующая точка: Гейтерсберг — где симметрию, запрещённую теоремой, увидят в куске металла, и определение кристалла придётся переписать.