Грегорио Риччи-Курбастро

Риччи занимался тем, что в его время считали крайне узким делом: как записать геометрические соотношения так, чтобы они не зависели от выбора координат. Ответ понадобился через тридцать лет и всей физике сразу.

Падуя

Родился в Луго в семье инженера, учился в Риме, Болонье и Пизе, потом стажировался в Мюнхене у Клейна. С 1880 года и до смерти — профессор в Падуанском университете.

Задача выросла из лекции Римана 1854 года: у пространства есть метрика $g_{ij}$, и по ней определяется кривизна. Но всё это записывалось в конкретных координатах, а геометрические свойства от координат зависеть не должны. Нужен был аппарат, автоматически отличающий содержание от системы отсчёта.

Абсолютное дифференциальное исчисление

Риччи строил его с 1887 года. Главное изобретение — ковариантная производная: обычная производная тензора тензором не является, а если добавить поправку с символами Кристоффеля, получается объект, который преобразуется правильно.

$$\nabla_k T^i_j = \partial_k T^i_j + \Gamma^i_{kl}T^l_j - \Gamma^l_{kj}T^i_l.$$

Отсюда — вся техника: свёртки, поднятие и опускание индексов, тензор кривизны Римана и его свёртка, которую сегодня зовут тензором Риччи.

В 1900 году Риччи с учеником Туллио Леви-Чивитой напечатал в Mathematische Annalen обзор «Méthodes de calcul différentiel absolu» — изложение всей теории. Отклик был слабым: математики считали это громоздкой формальной техникой без содержания.

1915

Эйнштейну, искавшему язык для общей теории относительности, эту статью показал друг Марсель Гроссман. Дальше — три года учёбы и уравнения поля, где слева стоит тензор Эйнштейна, собранный из тензора Риччи и скалярной кривизны.

С этого момента «исчисление Риччи» стало обязательным для физика. Леви-Чивита добавил параллельный перенос (1917) и сделал геометрический смысл ковариантной производной наглядным.

Второй раз тензор Риччи выстрелил в 1982 году, когда Ричард Гамильтон предложил эволюционировать метрику по уравнению

$$\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2R_{ij},$$

— поток Риччи, сглаживающий геометрию, как теплопроводность сглаживает температуру. Через двадцать лет Перельман довёл этот метод до доказательства гипотезы Пуанкаре.

Риччи ничего этого не увидел: он умер в 1925 году, известный в основном как автор трудной техники. Итальянская школа дифференциальной геометрии — Бьянки, Леви-Чивита, Севери — выросла в значительной степени из его работ.