Пик: площадь по узлам решётки

Вундеркинд из Вены

Георг Александр Пик (1859–1942) родился в Вене, в еврейской семье. Учился дома, в одиннадцать лет поступил в гимназию сразу в четвёртый класс, в шестнадцать — в университет, в двадцать защитил докторскую.

С 1881 года он в Праге, в Немецком университете; профессор с 1892 по 1927 год. Написал шестьдесят семь работ по самым разным предметам — функциональный анализ, дифференциальная геометрия, теория потенциала. В комплексном анализе до сих пор пользуются леммой Шварца — Пикаоценка того, насколько сильно голоморфное отображение круга в себя может менять расстояния. Шварц здесь Герман, а не Лоран: однофамильцев в математике двое, и путают их постоянно.

Теорема, из-за которой он попал в эту линию, — одна страница в статье 1899 года, и сам он ей значения не придавал.

Теорема

Возьмите клетчатую бумагу и нарисуйте многоугольник так, чтобы все его вершины попали в узлы сетки. Сосчитайте узлы: сколько их лежит строго внутри и сколько — на границе.

Теорема Пика. Площадь такого многоугольника равна
$$S = i + \frac{b}{2} - 1,$$
где $i$ — число внутренних узлов, $b$ — число узлов на границе.

Ни длин, ни углов, ни формул площади. Только пересчёт точек.

Проверка

Простейшие случаи стоит прогнать вручную — они убеждают лучше доказательства.

Фигура	$i$	$b$	По Пику	На самом деле
Единичный квадрат	$0$	$4$	$0+2-1=1$	$1$
Треугольник $(0,0),(1,0),(0,1)$	$0$	$3$	$0+1{,}5-1=0{,}5$	$0{,}5$
Квадрат $2\times2$	$1$	$8$	$1+4-1=4$	$4$
Треугольник $(0,0),(4,0),(0,3)$	$3$	$9$	$3+4{,}5-1=6$	$6$

Работает и на фигурах со сколь угодно изрезанной границей — лишь бы вершины сидели в узлах и граница себя не пересекала.

Семьдесят лет в тени

Опубликована теорема в 1899 году в пражском сборнике и осталась незамеченной. Её не цитировали, в учебники не включали, на неё не ссылались.

Известной она стала после того, как Гуго Штейнгауз включил её в «Математический калейдоскоп» — книгу, которую читали все. С этого момента теорема Пика пошла по школьным кружкам, олимпиадам и учебникам, и сегодня «площади на клетчатой бумаге» стоят в программе восьмого класса дословно.

Семьдесят лет между публикацией и известностью — не рекорд этой линии (теорему Морли не печатали двадцать лет, а «Математическое собрание» Паппа ждало тринадцать веков), но случай показательный: чтобы результат вошёл в оборот, мало быть верным и красивым, нужно ещё попасть в удачную книгу.

В пространстве такого нет

Естественный вопрос: а есть ли аналог в трёх измерениях? Считаем узлы внутри многогранника и на его поверхности — получаем объём?

Нет. И это выясняется одним примером.

Возьмём тетраэдр с вершинами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ и $(1,1,n)$, где $n$ — любое натуральное число. Никаких узлов решётки, кроме четырёх вершин, у него нет — ни внутри, ни на гранях, ни на рёбрах, при любом $n$. А объём равен $n/6$ и растёт неограниченно.

Значит, по числу узлов объём восстановить невозможно: тетраэдры Ривза с одинаковым набором точек имеют разные объёмы.

Запомните это несовпадение. Плоскость и пространство здесь расходятся — и ровно так же они разойдутся в следующей точке, только там причина будет глубже.

Пик и Эйнштейн

В 1911 году в Прагу на кафедру теоретической физики пригласили Эйнштейна. В комиссии, которая его выбрала, был Пик.

Они подружились — не в последнюю очередь потому, что оба играли: Пик на скрипке, и в его квартете ЭйнштейнАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. нашёл партнёров. А в разговорах Пик указал ему на работы, о которых физик тогда не знал: на абсолютное дифференциальное исчисление РиччиГрегорио Риччи-Курбастроитальянский математик · 1853–1925Двадцать лет разрабатывал исчисление, которым никто не пользовался, — пока Эйнштейну не понадобилось записать тяготение. и Леви-ЧивитыТуллио Леви-Чивитаитальянский математик и механик · 1873–1941Вместе с учителем построил тензорное исчисление — язык, писать на котором физику стало возможно независимо от координат; через двадцать три года выяснилось, что для общей теории относительности другого языка….

Без этого аппарата общая теория относительности не была бы написана. Пожилой пражский математик, известный сегодня школьной формулой про клетчатую бумагу, оказался тем, кто подсказал Эйнштейну язык.

Терезин

В 1938 году Австрию присоединили к Германии, в марте 1939-го немецкие войска вошли в Прагу.

Пику было восемьдесят. Уехать он отказался.

13 июля 1942 года его депортировали в Терезин. Он умер там через две недели, 26 июля, восьмидесяти двух лет от роду.

Следующая точка: Гёттинген — где выяснится, что в пространстве не работает и кое-что попроще: два тела равного объёма не всегда можно перекроить друг в друга.