Морли: трисектрисы

Англичанин в Пенсильвании

Фрэнк Морли (1860–1937) окончил Кембридж, несколько лет преподавал в английской школе, а в 1887 году уехал в Америку — в Хэверфорд-колледж под Филадельфией. С 1900 года и до конца жизни он в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе: заведующий кафедрой, редактор «American Journal of Mathematics» больше двадцати лет, президент Американского математического общества.

Про него любят рассказывать две вещи, и обе правда.

Первая: он был сильным шахматистом и однажды выиграл партию у Эмануила Ласкера — действующего чемпиона мира.

Вторая: все три его сына прославились. Кристофер Морли стал известным писателем, Феликс — журналистом, лауреатом Пулитцеровской премии и президентом Хэверфорд-колледжа, а Фрэнк-младший — математиком и соавтором отца.

Теорема

Разделите каждый угол произвольного треугольника на три равные части. Соседние трисектрисы пересекутся в трёх точках. Эти точки — вершины правильного треугольника.

Всегда. При любом исходном треугольнике, каким угодно кривым и вытянутым.

Утверждение это выглядит невозможным, и первая реакция всякого нормального человека — проверить чертежом. Проверьте: получится.

Почему её не нашли раньше

Вопрос тем острее, что доказательства теоремы Морли элементарны — их сегодня десятки, и лучшие из них укладываются в полстраницы.

Ответ такой: трисектрисы никого не интересовали, потому что их нельзя построить.

Разделить угол на три равные части циркулем и линейкой невозможно — эту задачу греки поставили, а невозможность доказали только в 1837 году. Всё, что связано с трисекцией, две тысячи лет считалось областью чудаков. Проводить в треугольнике линии, которые заведомо не строятся, никому не приходило в голову.

Морли пришёл к ним не из геометрии треугольника. Он занимался алгебраическими кривыми и спрашивал, при каких условиях кривая определённого вида касается сторон треугольника. Правильный треугольник выпал у него побочным результатом, как деталь в задаче совсем о другом.

Это стоит сказать классу отдельно. Открытие сделал человек, который его не искал, в области, куда не смотрели, потому что нужные линии нельзя начертить точно.

Как она распространялась

Дальше начинается странное.

Морли нашёл теорему около 1899 года и не стал её печатать. Он рассказал о ней друзьям, те — своим, и утверждение пошло по свету изустно, как задача. Через Кембридж оно попало в Индию, оттуда — в английские математические журналы.

Первые опубликованные доказательства появляются только в 1909 году, и авторы их — индийские математики Наранингар и Сатьянараяна. Сам Морли изложит свой ход мысли много позже и попутно, в работе, посвящённой совсем другому предмету.

Двадцать лет теорема существовала как молва — и, что характерно, за это время никто не приписал её себе.

Последний классический сюрприз

После 1899 года в элементарной геометрии треугольника открытий такого рода больше не было. Не потому, что искали хуже: само направление вскоре кончилось.

Теорема Морли — последняя вещь, найденная в треугольнике, которая удивляет всех без исключения.

Почему шестьдесят

Обозначьте углы треугольника через $3\alpha$, $3\beta$, $3\gamma$.

Покажите, что $\alpha+\beta+\gamma=60^\circ$, и объясните, почему именно это равенство делает появление правильного треугольника правдоподобным.

Указание: сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит $3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ$ и $\alpha+\beta+\gamma=60^\circ$. Число $60^\circ$ — это угол правильного треугольника, и оно возникает здесь до всякого чертежа, из одной только арифметики. Строгое доказательство, конечно, требует большего, но искать правильный треугольник после такого наблюдения уже не кажется безумием.

Следующая точка: Прага — где площадь фигуры научатся считать, просто пересчитывая точки.