Папп: последняя книга античной геометрии

Обзор вместо трактата

Папп Александрийский работал около 320 года — датировка идёт от того, что в одном из его текстов упомянуто солнечное затмение 320 года.

Его «Математическое собрание» (Συναγωγή) — сочинение странного жанра: не трактат и не учебник, а обзор с комментариями и собственными добавлениями. Восемь книг, из которых первая утрачена целиком и начало второй тоже.

Жанр этот появляется в определённый момент — когда великие книги перестают переписывать. Папп пишет для читателя, у которого уже нет под рукой ни Аполлония целиком, ни «Поризмов» Евклида: он пересказывает содержание, приводит формулировки, объясняет ход мысли. По сути — опись имущества перед тем, как оно пропадёт.

Опись оказалась не напрасной.

Что мы знаем только благодаря ему

Список внушительный. Только из Паппа известно, что было в утраченных книгах АполлонияАполлоний Пергскийгреческий математик и астроном · около 262–190 до н. э.Написал восемь книг о сечениях конуса, придумал слова «эллипс», «парабола» и «гипербола» — и довёл дело до теории нормалей, то есть до порога дифференциальной геометрии, за восемнадцать веков до неё. «О плоских местах» и «О касаниях» — во второй стояла задача Аполлония: построить окружность, касающуюся трёх данных. Только из него — про «Поризмы» ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего., от которых не осталось ничего другого. Только у него описана вся «Сокровищница анализа» — корпус книг по методу решения задач.

И там же, в седьмой книге, стоит вопрос, изменивший всё.

Задача Паппа о четырёх прямых. Даны четыре прямые. Найти геометрическое место точекмножество всех точек, обладающих указанным свойством, — привычный школьный оборот: ГМТ точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр, для которых произведение расстояний до первых двух относится к произведению расстояний до двух других в заданном отношении. Папп сообщает: для трёх и четырёх прямых получается коническое сечение, а для большего числа — «линия, природа которой неизвестна».

Через тринадцать веков ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. возьмётся за неё как за прямой вызов из античности — и решит для любого числа прямых. Именно на этой задаче построена «Геометрия» 1637 года: координаты понадобились ровно затем, чтобы её одолеть. Одна строчка в обзоре IV века запустила аналитическую геометрию.

Теорема Паппа

Пусть точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а $D$, $E$, $F$ — на другой. Тогда три точки пересечения — $AE$ с $BD$, $AF$ с $CD$, $BF$ с $CE$ — лежат на одной прямой.

Ни расстояний, ни углов в формулировке нет: только «лежать на прямой» и «пересекаться». Утверждение целиком проективное — за тринадцать веков до проективной геометрии.

Что из него потом вышло — рассказано в точке о Дезарге: теорема Паппа влечёт теорему Дезарга, а в проективной плоскости, построенной над теломалгебраическая система, где можно складывать, вычитать, умножать и делить, но умножение не обязано быть перестановочным: главный пример — кватернионы, она равносильна коммутативности умножения в этом теле. Геометрическая теорема о шести точках оказалась переодетым алгебраическим законом.

Правило о теле вращения

В той же седьмой книге стоит правило, которое школа знает под именем Паппа — Гульдина:

Объём тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в её плоскости и её не пересекающей, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:
$$V = 2\pi d\, S.$$

Проверьте на торе. Круг радиуса $r$ вращается вокруг оси, удалённой на $R$ от центра:

$$V = 2\pi R\cdot \pi r^2 = 2\pi^2 R r^2.$$

Формула, которую иначе пришлось бы добывать интегралом, получается умножением двух школьных величин.

Здесь нужна честная оговорка: часть исследователей считает это место в тексте Паппа позднейшей вставкой — формулировка стоит особняком и доказательства при ней нет. Паулю Гульдину, переоткрывшему правило около 1640 года, современники предъявили обвинение в плагиате, а он в ответ заявил, что у Паппа этого не было. Спор не решён до сих пор, и двойное имя формулы — след этого спора.

Гульдин, к слову, был главным критиком метода неделимых Кавальери: он справедливо указывал, что сложение линий не может дать площадь, поскольку у линии нет ширины. Правило о теле вращения он получал как раз потому, что хотел обойтись без неделимых.

Пчёлы и шестиугольник

Пятая книга начинается с рассуждения, которое стоит прочитать любому учителю.

Папп замечает, что пчёлы строят соты шестиугольными, и спрашивает почему. Ответ такой: плоскость без зазоров замощается правильными многоугольниками только тремя способами — треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Из этих трёх при равной площади ячейки наименьший периметр даёт шестиугольник. Значит, на шестиугольные соты уходит меньше всего воска.

Формулировку он даёт вполне определённую: пчёлы, не зная геометрии, выбрали фигуру, которая доставляет наибольшую вместимость при наименьшем расходе.

Доказал Папп только частный случай — сравнение трёх правильных паркетов. Полное утверждение, что шестиугольная решётка лучше любого разбиения плоскости, а не только правильного, называется гипотезой о сотах, и доказали её лишь в 1999 году. Сделал это Томас Хейлз — тот самый, что годом раньше разобрался с плотнейшей упаковкой шаров. Между вопросом и ответом — тысяча шестьсот восемьдесят лет.

Заметьте, чем Папп пользуется: тем же счётом углов вокруг точки, каким Теэтет закрыл список правильных тел. Приём, найденный в Афинах, работает и здесь.

Что было после

После Паппа александрийская математика ещё держится два поколения — Теон Александрийский готовит редакцию «Начал», по которой Европа будет читать Евклида до XIX века, его дочь Гипатия комментирует Аполлония и Диофанта, — а дальше идут комментарии к комментариям.

Само «Математическое собрание» пролежит без внимания больше тысячи лет. Латинский перевод Федерико Коммандино выйдет в 1588 году — и его прочитают все сразу: Виет, Декарт, Ферма, Дезарг, Паскаль, Ньютон. Половина сюжетов этой линии в XVII веке начинается со слов «читая Паппа».

Обзор, написанный из чувства, что всё кончается, оказался мостом.

Следующая точка: Афины — где тем же счётом углов, каким Теэтет закрыл список правильных тел, закроют список правильных паркетов.