Декарт и Ферма: у точки появляются координаты

Задача, которую решал Декарт

Вопреки школьному представлению, Декарт не «придумал графики». Он решал конкретную задачу — и притом ту самую, которой закончилась античная геометрия.

Задача Паппа о трёх и четырёх прямых. Даны несколько прямых. Найти геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до одних прямых, взятое в заданном отношении к произведению расстояний до других, постоянно. Для четырёх прямых греки знали ответ — коническое сечение (см. Аполлония); для большего числа не знал никто, и Папп около 320 года прямо писал, что задача остаётся открытой.

Декарт решает её в общем виде. Приём такой: обозначить два неизвестных отрезка буквами $x$ и $y$, выразить все расстояния через них линейно, перемножить — и получить уравнение. Дальше вопрос о кривой становится вопросом о степени уравнения.

«La Géométrie» — третье приложение к «Рассуждению о методе», Лейден, 1637.

Главная мысль

$$\boxed{\;\text{кривая}\;\longleftrightarrow\;\text{уравнение}\;}$$

Каждой кривой отвечает соотношение между координатами; каждому соотношению — кривая. Два языка, полностью переводимые друг в друга. Отсюда три следствия, и каждое переворачивает предмет.

Первое: классификация. Кривые упорядочиваются по степени уравнения. Первая степень — прямая; вторая — конические сечения, и Декарт замечает, что классификация АполлонияАполлоний Пергскийгреческий математик и астроном · около 262–190 до н. э.Написал восемь книг о сечениях конуса, придумал слова «эллипс», «парабола» и «гипербола» — и довёл дело до теории нормалей, то есть до порога дифференциальной геометрии, за восемнадцать веков до неё. воспроизводится алгебраически, разбором знаков дискриминанта; третья и выше — «роды» кривых, о которых античность не знала ничего.

Второе: вычислимость. Задача о пересечении кривых становится задачей о решении системы. Задача о касательной — алгебраической. А построения циркулем и линейкой получают точный алгебраический критерий: строится ровно то, что выражается через рациональные операции и квадратные корни. Именно отсюда через двести лет Ванцель (1837) выведет невозможность трисекции угла и удвоения куба — задач, поставленных ещё во времена луночек Гиппократа.

Третье, самое далеко идущее: размерность перестаёт упираться в три. Если точка — это набор чисел, то ничто не мешает взять четыре числа. Или $n$. Пространство больше не обязано быть тем, что можно нарисовать. Мысль вызреет долго — Шлефли в 1852-м, Риман в 1854-м, — но возможной её делает 1637 год.

Чего у Декарта ещё не было

Это стоит проговорить, потому что школьное «Декарт ввёл систему координат» неверно в деталях.

У Декарта	У нас
одна ось (обычно диаметр кривой), $y$ откладывается под фиксированным, часто косым углом	две перпендикулярные оси
координаты только положительные	все знаки
нет начала координат как выделенной точки	есть
нет термина «координаты» (его введёт ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». в 1692-м)	есть
уравнение строится от кривой	равноправно в обе стороны

Отрицательные абсциссы допустит ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды. в 1650-е, современный вид система примет у ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. в «Introductio» (1748). Привычная «декартова система координат» — плод ста лет доводки после Декарта.

Занятно, что косые оси Декарта — не небрежность. У Аполлония координаты тоже косые и тоже привязаны к самой кривой. Разница в другом: у грека координатной сетки до кривой не существует, у Декарта она есть всегда и кривая описывается в ней.

Ферма: то же самое, раньше и иначе

Пьер де Ферма написал «Ad locos planos et solidos isagoge» («Введение в изучение плоских и телесных мест») около 1636 года — за год до Декарта, — но, по своему обыкновению, не напечатал. Работа расходилась в списках через МерсеннаМарен Мерсеннфранцузский монах, математик и теоретик музыки · 1588–1648Монах-минимит, работавший научным журналом за сто лет до появления журналов: через его келью в Париже шла переписка всей учёной Европы. Числа его имени до сих пор дают рекордные простые. и вышла только в 1679-м, посмертно.

И в одном отношении подход Ферма современнее. Декарт идёт от кривой к уравнению; Ферма — от уравнения к кривой. Он берёт общее уравнение второй степени и перечисляет, какие кривые получаются при разных соотношениях коэффициентов, — то есть делает ровно то, что делает сегодняшний учебник аналитической геометрии. Его формулировка принципа:

Всякий раз, когда в заключительном уравнении присутствуют две неизвестные величины, налицо геометрическое место, и конец одной из них описывает линию.

Ферма же первым выписал уравнение прямой в виде, эквивалентном нашему, и уравнения всех коник в каноническом виде. Тот же человек в те же годы находил касательные и экстремумы методом, из которого через тридцать лет вырастет дифференциальное исчисление, — и тоже почти ничего не печатал.

Ещё один похороненный результат в коллекции этой карты — рядом с Дезаргом и Шлефли.

Как Декарт писал

Отдельная деталь, объясняющая, почему влияние наступило не сразу.

«Геометрия» написана умышленно тёмно. Декарт прямо сообщает читателю, что не довёл до конца многие доказательства, чтобы оставить другим удовольствие открыть их самостоятельно, — и добавляет, что не написал ничего, чего не понял бы всякий, кто даст себе труд подумать. Современники сочли это издевательством.

Книгу сделали читаемой латинские издания Франса ван Схотена (1649, затем расширенное 1659–1661) с комментариями его учеников — Гудде, Хейрата, де Витта. Именно эту версию читал молодой Ньютон, и именно из неё аналитическая геометрия попала в европейский оборот. Тот же ван Схотен восемью годами раньше напечатал в приложении к своим «Exercitationes» трактат Гюйгенса о вероятностях: один издатель, один город — и два основополагающих текста разных наук.

Спор о том, какие кривые законны

Декарт провёл границу, которая продержалась полвека и оказалась неверной.

Он разделил кривые на «геометрические» — задаваемые алгебраическим уравнением, их и следует изучать — и «механические»: спираль, циклоида, квадратриса; их надлежит исключить из геометрии, поскольку они «зависят от двух движений, не связанных точным соотношением».

Лейбниц отменил это разделение, назвав вторые трансцендентными и включив их в предмет. Как раз они и оказались главными в анализе: на циклоиде выросла задача о брахистохроне, на логарифмической кривой — вся теория показательной функции.

Урок в духе всей карты: граница законного проводится по возможностям наличного аппарата и сдвигается вместе с ним.

Почему это точка геометрии, а не алгебры

Возражение возможно: не является ли аналитическая геометрия событием алгебраическим? Нет — и вот проверка. Вторая половина этой линии без координат не существует.

• Гаусс задаёт поверхность параметрически, $\mathbf{r}(u,v)$, и вся первая квадратичная форма $ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}$ есть высказывание о координатах.
• Риман определяет многообразие как объект, локально описываемый $n$ числами, — буквально как «то, на чём есть координаты».
• Риччи строит исчисление, вся суть которого — правила пересчёта при замене координат.
• Общая теория относительности формулируется как требование независимости законов от выбора координат.

Понятие «замена координат» требует, чтобы координаты сначала появились. Они появились здесь.

Задача. Задача Паппа для четырёх прямых $x=0$, $y=0$, $x=1$, $y=1$: найти геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до первой пары равно произведению расстояний до второй. Запишите уравнение и убедитесь, что получается коника.
(Ответ: $|x|\,|y| = |x-1|\,|y-1|$; раскрывая в первой четверти, $xy = (x-1)(y-1)$, то есть $x+y=1$ — вырожденный случай, пара прямых. Попробуйте несимметричное отношение $k\ne1$ и получите настоящую гиперболу: в этом и состоит наблюдение Декарта, что степень уравнения решает всё.)

Следующая точка: Париж — где двумя годами позже зададут прямо противоположный вопрос: что останется от фигуры, если координат, длин и углов не иметь вовсе.