Гюйгенс: первый печатный учебник и рождение ожидания

Как это вышло

В 1655 году двадцатишестилетний Христиан Гюйгенс приезжает в Париж. Он уже известен: открыл Титан, объяснил кольца Сатурна, работает над маятниковыми часами. В парижских математических кругах он слышит разговоры о задачах, которыми прошлым летом занимались Паскаль и Ферма.

Но решений ему не показывают. ПаскальБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. к тому времени пережил религиозное обращение и от математики отошёл; ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. в Тулузе; переписка не опубликована. Гюйгенс получает только формулировки задач и, для некоторых, числовые ответы без доказательств.

Он восстанавливает теорию заново. Рукопись отправлена учителю, Франсу ван Схотену, в апреле 1656 года; тот переводит её с голландского на латынь, и в августе-сентябре 1657-го трактат выходит приложением к «Exercitationum mathematicarum libri quinque» ван Схотена в Лейдене, у Эльзевиров. Голландский оригинал напечатан в 1660-м.

De ratiociniis in ludo aleae — «О расчётах в азартной игре». Четырнадцать страниц.

В предисловии Гюйгенс честно оговаривается, что лучшие математики Франции занимались этим предметом раньше и первенства он себе не приписывает.

Главное новшество: ожидание вместо вероятности

Гюйгенс кладёт в основание не вероятность события, а справедливую цену позиции. Предложение I:

Если у меня равные шансы получить $a$ или $b$, то это стоит столько же, сколько $\dfrac{a+b}{2}$.

Предложение III, общий случай:

Если есть $p$ шансов получить $a$ и $q$ шансов получить $b$, и все шансы равновозможны, то моё ожидание стоит
$$\frac{pa + qb}{p+q}.$$

Это первое явное определение математического ожидания в истории. Современная запись:

$$E[X] = \sum_{i} x_{i}\,p_{i}.$$

Порядок понятий у Гюйгенса обратный нашему: мы определяем вероятность, потом через неё ожидание; он определяет стоимость шанса, а вероятность выступает как частный случай (ожидание индикатора). Оба порядка законны. Любопытно, что в XX веке к гюйгенсову порядку вернулись: у де Финетти вероятность определяется через готовность заключать пари, то есть именно через ожидание.

Как он это обосновывал

Доказательство предложения I не использует никакой теории вероятностей вообще.

Пусть $x$ — искомая справедливая цена. Заключим равноправное пари с партнёром: каждый ставит $x$, победитель забирает $2x$, но по договорённости отдаёт проигравшему $b$. Тогда:

• если я выиграл, я получаю $2x - b$;
• если проиграл, я получаю $b$.

Эта игра совершенно симметрична, значит, она справедлива при цене $x$. Чтобы её исходы совпали с исходной задачей ($a$ или $b$), нужно

$$2x - b = a \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{a+b}{2}. \qquad\blacksquare$$

Обратите внимание на метод: справедливость выводится из симметрии обмена, а не постулируется. Это первое в истории применение того, что финансисты назовут «принципом отсутствия арбитража»: цена определяется тем, что позицию можно воспроизвести набором заведомо равноправных сделок. Ровно тот же ход через 316 лет сделают Блэк и ШоулзМайрон Шоулзканадско-американский экономист · род. 1941Вывел вместе с Фишером Блэком формулу цены опциона — уравнение теплопроводности в финансовом виде. Через двадцать пять лет фонд, где он был партнёром, обанкротился так громко, что спасать его пришлось… (последняя точка этого файла).

Содержание трактата

Предложения I–III — определение ожидания.

Предложения IV–IX — задача о разделе ставки в разных вариантах. Гюйгенс решает её рекурсией по числу недостающих очков, как Паскаль:

$$e(a,b) = \tfrac12 e(a-1,b) + \tfrac12 e(a,b-1), \qquad e(0,b)=1,\ e(a,0)=0.$$

Предложения X–XIV — задачи о костях. Например, предложение XI: сколько бросков двух костей нужно, чтобы двойная шестёрка стала вероятнее её отсутствия? Ответ — 25 (задача де Мере, Паскаль и Ферма):

$$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{n}\geqslant\frac12 \iff n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln(36/35)} = \frac{0{,}6931}{0{,}02817} \approx 24{,}6 \Rightarrow n=25.$$

Пять задач без решений, оставленных читателю. Среди них — задача о разорении игрока (пятая), поставленная Ферма и Паскалем:

У $A$ и $B$ по 12 жетонов. Бросают три кости: при сумме 11 очков $A$ отдаёт жетон $B$, при сумме 14 — $B$ отдаёт жетон $A$ (прочие исходы ничего не меняют). Выигрывает забравший все жетоны. Показать, что шансы $A$ относятся к шансам $B$ как 244140625 к 282429536481.

Гюйгенс приводит ответ без вывода. Это первый в истории пример случайного блуждания с поглощающими границами — прямой предок броуновского движения (Башелье) и всей теории марковских цепей.

Проверим ответ. По таблице трёх костей (см. точку о Галилее) сумма 14 даёт 15 исходов, сумма 11 — 27. Условная вероятность того, что результативный бросок пойдёт в пользу $A$, равна

$$a = \frac{15}{15+27} = \frac{5}{14}, \qquad b = \frac{27}{42} = \frac{9}{14}.$$

Общая формула разорения: при начальном капитале $i$, общем капитале $N$ и отношении $r = b/a$

$$P(A\ \text{выигрывает}) = \frac{1-r^{\,i}}{1-r^{\,N}}, \qquad a\ne b.$$

При $i=12$, $N=24$ знаменатель раскладывается, и происходит красивое сокращение:

$$\frac{1-r^{12}}{1-r^{24}} = \frac{1-r^{12}}{(1-r^{12})(1+r^{12})} = \frac{1}{1+r^{12}} = \frac{a^{12}}{a^{12}+b^{12}}.$$

Значит, шансы относятся как $a^{12} : b^{12} = 5^{12} : 9^{12}$:

$$5^{12} = 244\,140\,625, \qquad 9^{12} = 3^{24} = 282\,429\,536\,481. \quad\checkmark$$

Ответ Гюйгенса совпадает в точности. Обратите внимание на общий вывод: при равных начальных капиталах отношение шансов есть отношение вероятностей одной партии, возведённое в степень капитала. Небольшой перевес в отдельной партии ($5:9$, то есть шансы 0,36 против 0,64) превращается в перевес больше чем в тысячу раз при игре на 12 жетонов. Это математическое содержание того, почему казино всегда выигрывает: преимущество в доли процента возводится в степень числа ставок.

Значение

Книга оставалась единственным учебником теории вероятностей более полувека — до «Essay d'analyse» Монмора (1708) и «Ars Conjectandi» (1713). Якоб БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. положил её целиком в основу первой части своего трактата, снабдив комментариями, вдвое превышающими исходный текст («Ars Conjectandi»).

И ещё кое-что напоследок: Гюйгенс — учитель ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем».. В том же Париже, десятью годами позже, он поставит юному дипломату задачу о сумме обратных треугольных чисел, с которой начнётся математический анализ Лейбница. Одна и та же фигура стоит у истоков двух ветвей нашей карты.