Европа · задача 3 из пяти, оставленных читателю
Кто бросает первым
Как звучало тогда
A и B бросают две кости по очереди с тем условием, что A выигрывает, если выбросит семь очков, а B — если выбросит шесть; B бросает первым. Найти отношение их шансов.
Условие
Двое по очереди бросают две кости. B бросает первым и выигрывает, если выпадет 6 очков; A выигрывает, если выпадет 7. Игра идёт, пока кто-нибудь не выиграет. Каковы шансы каждого?
Показать ответ
шансы A к шансам B как $31:30$; вероятность выигрыша A равна $\frac{31}{61}$
О чём эта задача
Замечательно, что выигрывает чаще тот, кто бросает вторым. Семёрка выпадает чаще шестёрки (6 случаев из 36 против 5), и этого перевеса хватает, чтобы перекрыть преимущество первого хода. Считать нужно бесконечную серию: A выигрывает в первом круге, во втором, в третьем… Гюйгенс суммирует геометрическую прогрессию; школьнику проще заметить, что после несостоявшегося круга положение в точности прежнее, и составить уравнение относительно искомой вероятности. Это первая в истории задача, где вероятность ищется из уравнения, а не подсчётом случаев.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.