Граунт: статистика из чумных списков

Данные, которые лежали на виду

Титульный лист «Natural and Political Observations», Лондон, 1662CC BY 4.0

С 1532 года лондонские приходы вели Bills of Mortality — еженедельные сводки погребений и крещений с указанием причин смерти. Изначально это был инструмент раннего оповещения о чуме: горожане следили за цифрами, чтобы решить, не пора ли уезжать. Данные собирали searchers — пожилые женщины, которым платили за обход домов и выяснение причины смерти у родных и врачей. Точность, мягко говоря, оставляла желать.

Восемьдесят лет эти сводки печатались, покупались и обсуждались. И никто не догадался сложить их за много лет и посмотреть, что получится.

Джон Граунт (1620–1674) — лондонский галантерейщик, торговец мелким товаром, без университетского образования, капитан городского ополчения — сделал именно это. Он собрал данные более чем за полвека (по оценке Морабиа, свыше 2500 листов) и в 1662 году выпустил книгу в 97 страниц: «Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality».

Что он там нашёл

1. Устойчивость соотношения полов. Мальчиков рождается стабильно больше девочек: Граунт получил отношение примерно $14 : 13$. Устойчивость числа, которое, казалось бы, зависит от чистого случая в каждой отдельной семье, — это первое эмпирическое наблюдение того, что позже назовут законом больших чисел. (Заодно Граунт использовал его как аргумент против полигамии: избыток мужчин компенсируется их более высокой смертностью, и к брачному возрасту полов примерно поровну.)

2. Численность населения Лондона. Ходячие оценки называли два, шесть, семь миллионов. Граунт применил несколько независимых методов и получил около 384 000 — цифру, которая современным историкам кажется правильной по порядку величины. Один из его методов: если в год примерно $12\,000$ рождений и женщина рожает раз в два года, то женщин детородного возраста около $24\,000$; отсюда через долю таких женщин в семье и средний размер семьи — общее население. Другой: около $13\,000$ смертей в год, и примерно в трёх из одиннадцати домохозяйств за год кто-то умирает, откуда $\approx 47\,700$ семей и $\approx 381\,000$ человек. Третий — по карте Фейторна и Ньюкорта 1658 года: число домов на единицу площади, умноженное на среднее число жильцов, дало $380\,160$.

Три независимых метода, три близких ответа. Это и есть научный приём: сходимость независимых оценок как аргумент в пользу их правильности. (Позже, добавив Вестминстер, Степни, Ламбет и отдалённые приходы, Граунт довёл оценку до $460\,800$ — отсюда расхождение чисел в разных пересказах.)

3. Первая таблица дожития. Самое знаменитое. Из $100$ родившихся, по Граунту, доживают:

Возраст	0	6	16	26	36	46	56	66	76	86
Живых	100	64	40	25	16	10	6	3	1	0

Данных о возрасте смерти в бюллетенях не было — Граунт таблицу во многом сконструировал, а не измерил. Присмотримся к числам: $64 \to 40$, $40 \to 25$, $25 \to 16$, $16 \to 10$ — отношение всякий раз близко к $5/8 = 0{,}625$. Граунт попросту принял, что за каждое десятилетие умирает постоянная доля живущих:

$$\ell(x) \approx 64 \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{(x-6)/10}, \qquad x \geqslant 6 .$$

Это геометрическая (в непрерывном пределе — экспоненциальная) модель дожития. Она эмпирически неверна: реальная смертность в старших возрастах растёт, а не остаётся постоянной. Но важно не то, что таблица оказалась дефектной, а то, что Граунт первым додумался представить смертность в виде функции дожития — величины $\ell(x)$, из которой затем выводятся все актуарные расчёты:

$$q_x = \frac{\ell(x) - \ell(x+1)}{\ell(x)} \quad (\text{вероятность умереть на } x\text{-м году}), \qquad e_x = \frac{1}{\ell(x)}\sum_{k \geqslant 1} \ell(x+k) \quad (\text{ожидаемый остаток жизни}).$$

4. «Городской штраф». Сравнив лондонские данные с сельскими, Граунт впервые показал, что в городе умирают чаще, — и что Лондон растёт только за счёт приезжих. Он же различил острые (эпидемические) и хронические (эндемические) болезни, оценил младенческую смертность и первым описал феномен «избыточной смертности» во время эпидемии.

Признание

Книга выдержала пять изданий (два — в первый же год). Граунта приняли в Королевское общество в 1662 году — по личной рекомендации Карла II, что для торговца было неслыханно. Его друг сэр Уильям Петти назвал этот род занятий political arithmetic — «политическая арифметика»; термин продержался весь XVIII век. (Петти, кстати, иногда приписывали и само авторство книги; современные историки этой версии не поддерживают, но участие Петти в обсуждениях вероятно.) Дальнейшая судьба Граунта сложилась плохо: Великий пожар 1666 года уничтожил его дело, он разорился и умер в бедности.

Продолжение линии

Эдмунд Галлей, Лондон, 1693. Тот самый астроном. Ему в руки попали данные пастора Каспара Неймана по силезскому городу Бреслау (ныне Вроцлав) за 1687–1691 годы — с указанием возраста умерших, чего в Лондоне не было, и с малым притоком приезжих, что делало население почти замкнутым. Галлей построил настоящую таблицу дожития для когорты из $1000$ человек (при среднем числе рождений $1238$ в год) и — главное — применил её к расчёту пожизненной ренты. Его формула для стоимости ренты для человека возраста $x$ при годовой ставке $i$ и $v = 1/(1+i)$:

$$a_x = \sum_{k \geqslant 1} \frac{\ell(x+k)}{\ell(x)} \, v^{k} .$$

Слева — цена, которую страховщик может брать сегодня; справа — сумма всех будущих выплат, взвешенных на вероятность дожить и обесцененных на процент. Это первая в истории формула, где вероятность и деньги стоят в одном выражении, и по сути весь актуарный расчёт с тех пор — её уточнение. Галлей предложил английской короне продавать ренты по этим ценам; предложение игнорировали почти сто лет, а государство продолжало продавать ренты по единой цене независимо от возраста покупателя, что было чистым подарком молодым.

Слово «статистика». Немецкий юрист и историк Готфрид Ахенваль (1719–1772) в Гёттингене в 1749 году вводит термин Statistik, понимая под ним систематическое описание государства: население, войско, долги, ресурсы. Никакой математики в этом смысле слова тогда нет — только упорядоченное сравнение стран по таблицам. Математическая статистика и «статистика» как государствоведение сольются лишь к XX веку.

Важно: статистика родилась не из игральных костей, а из чумы и государственной казны. Почти столетие исчисление игр и политическая арифметика развивались параллельно, не подозревая друг о друге. Мост между ними построит Якоб Бернулли.