Галлей: таблица Бреслау и цена человеческой жизни

Почему ГраунтаДжон Граунтанглийский галантерейщик, основатель демографической статистики · 1620–1674Лондонский торговец мелким товаром без всякого образования обработал полвека бюллетеней смертности и построил первую таблицу дожития. Статистика родилась не из игральных костей, а из чумы. было мало

Джон Граунт построил первую таблицу дожития в 1662 году, но его данные были негодны для расчётов, и он это понимал. Лондонские бюллетени смертности содержали возраст умерших крайне ненадёжно (причину смерти определяли неграмотные «искательницы мёртвых»), а главное — не было данных о численности живых по возрастам. Знать, сколько людей умерло в 40 лет, бесполезно, если не знаешь, сколько сорокалетних было. Граунт значительную часть своей таблицы попросту сконструировал, подобрав правдоподобное убывание.

Между тем задача была насущной. Английское правительство с 1670-х продавало пожизненные ренты для покрытия военных расходов и назначало цену... одинаковую для всех возрастов. Обычно семь годовых выплат вперёд — независимо от того, десять лет покупателю или семьдесят. Разорительность этого была очевидна всем, кто умел считать; неочевидно было, как считать правильно.

Данные

Каспар Нейман, пастор из Бреслау (Вроцлава), вёл образцовые записи: он фиксировал рождения и смерти с указанием точного возраста умерших. Город подходил идеально:

• население практически не мигрировало — а миграция ломает все расчёты;
• рождаемость и смертность были примерно уравновешены, население стационарно;
• город достаточно велик (около 34 000 жителей) для статистической устойчивости.

Через ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». данные попали в Королевское общество, а оттуда — к Галлею. Он обработал сведения за пять лет, 1687–1691: 6193 рождения и 5869 смертей.

Таблица

Галлей строит функцию $l_x$ — число доживших до возраста $x$ из фиксированной когорты. Логика: если население стационарно, то нынешнее распределение живых по возрастам есть таблица дожития.

Фрагмент (из 1238 родившихся):

Возраст $x$	1	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
$l_x$	1000	700	622	585	539	490	436	377	272	202	120	58	20

Первое, что бросается в глаза: из тысячи годовалых до семи лет не доживают триста. Детская смертность — главная особенность доиндустриальной демографии, и таблица Галлея сделала её измеримой.

Из таблицы напрямую читаются вероятности:

$$p_{x} = \frac{l_{x+1}}{l_{x}} \ \text{(дожить до следующего года)}, \qquad {}_{t}p_{x} = \frac{l_{x+t}}{l_{x}}, \qquad q_x = 1 - p_x.$$

Ожидаемая остаточная продолжительность жизни:

$$\mathring{e}_{x} = \frac{1}{l_{x}}\sum_{t\geqslant1} l_{x+t} \;+\; \frac12 .$$

Формула, ради которой всё делалось

Галлей ставит вопрос: сколько стоит обязательство платить человеку возраста $x$ по одной монете в год, пока он жив?

Каждая будущая выплата ценна лишь настолько, насколько вероятно её дожитие, и должна быть дисконтирована по ставке $i$. Пусть $v = \dfrac{1}{1+i}$ — коэффициент дисконтирования. Тогда

$$\boxed{\;a_{x} = \sum_{t=1}^{\infty} v^{t}\,\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\;}$$

Это первая формула в истории, где вероятность и деньги стоят в одном выражении. В ней уже есть всё, что нужно современной актуарной науке: дисконтирование, вероятность дожития, суммирование по будущим периодам. Формула не изменилась за 333 года — изменились только таблицы.

Считаем. При ставке $i=6\%$ ($v \approx 0{,}9434$) Галлей получает, например: для двадцатилетнего $a_{20}\approx12{,}8$, для пятидесятилетнего $a_{50}\approx 9{,}2$, для семидесятилетнего $a_{70}\approx 5{,}3$ годовых выплат.

Сравните с государственной ценой в семь выплат для всех. Двадцатилетний покупал за 7 то, что стоит 12,8, — казна теряла на нём почти вдвое. Семидесятилетний переплачивал. Ошибка была не в мелочах, а в самой идее единой цены.

Галлей прямо пишет, что правительство продаёт ренты слишком дёшево. Его услышали не сразу: единая цена продержалась ещё несколько десятилетий.

Что здесь принципиально нового для линии

Соединились две реки. Точка о Граунте — статистика без вероятностной модели. De Vetula, Кардано и Паскаль с Ферма — вероятность без данных. Галлей впервые сделал и то и другое сразу: взял эмпирические частоты и подставил их в вероятностную формулу как вероятности.

Логическое обоснование такой подстановки даст только Якоб БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. двадцать лет спустя (Якоб Бернулли): закон больших чисел отвечает на вопрос, почему наблюдённая частота вправе считаться вероятностью. Порядок, характерный для всей этой линии: сначала стали делать, потом объяснили, почему это законно.

Человек

Эдмунд Галлей (1656–1742) известен прежде всего кометой, но список его дел неправдоподобен даже по меркам эпохи: каталог южных звёзд (Святая Елена, 1676–78), карта магнитных склонений, первая метеорологическая карта, теория пассатов, обнаружение собственного движения звёзд, второй Королевский астроном.

И отдельная заслуга, без которой линия анализа выглядела бы иначе: именно Галлей уговорил НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. написать «Начала» и издал их за свой счёт, поскольку Королевское общество, потратив бюджет на «Историю рыб», денег не имело.

Его же, по распространённой версии, Беркли имел в виду под «неверующим математиком» в «Аналисте».