Тензорное исчисление Риччи

Задача, которую надо было решить

Грегорио Риччи-Курбастроавтор неизвестен · Public domain

После Римана стало понятно, что геометрия пространства задаётся метрикой $ds^{2}=\sum g_{ij}\,dx^{i}dx^{j}$. Но координаты $x^{i}$ выбираются произвольно, а физика и геометрия от произвола выбора зависеть не должны. Значит, нужен способ отличать содержательные соотношения от артефактов системы координат.

Простейший пример беды. Возьмём вектор и продифференцируем его компоненты по координатам. В декартовой системе «производная вектора» ведёт себя разумно. Перейдём к полярным — и получим лишние члены: базис-то сам меняется от точки к точке. Обычная производная не является геометрическим объектом.

Грегорио Риччи-Курбастро (1853–1925), профессор Падуанского университета с 1880 года, посвятил решению этой задачи десять лет. Опирался он на работы Кристоффеля (1869) о преобразовании квадратичных дифференциальных форм и Липшица. К нему присоединился ученик — Туллио Леви-Чивита (1873–1941), и в 1900 году они выпустили итоговый мемуар «Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications» в «Mathematische Annalen».

Что такое тензор

Определение Риччи по существу такое: тензор — это набор чисел, преобразующийся при смене координат по строго определённому закону. Для тензора с одним верхним и одним нижним индексом:

$$\tilde T^{i}_{\;j}=\frac{\partial \tilde x^{i}}{\partial x^{k}}\,\frac{\partial x^{l}}{\partial \tilde x^{j}}\,T^{k}_{\;l},$$

и по повторяющимся индексам подразумевается суммирование (это соглашение введёт позже Эйнштейн — по его собственным словам, самый ценный его вклад в математику).

Смысл этого формализма — в одном простом следствии. Если тензор равен нулю в одной системе координат, он равен нулю во всех: закон преобразования линеен и однороден. Отсюда рецепт: чтобы написать физический закон, не зависящий от наблюдателя, достаточно приравнять нулю тензор. Именно этим рецептом воспользуется Эйнштейн.

Ковариантная производная

Чтобы дифференцировать и оставаться в мире тензоров, к обычной производной добавляют поправку:

$$\nabla_{k}V^{i}=\frac{\partial V^{i}}{\partial x^{k}}+\Gamma^{i}_{\;kl}V^{l},$$

где коэффициенты — символы Кристоффеля — вычисляются прямо из метрики:

$$\Gamma^{i}_{\;kl}=\frac12 g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}+\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}\right).$$

Слагаемое с $\Gamma$ ровно компенсирует изменение базиса. Уравнение геодезической — прямейшей линии пространства — записывается тогда предельно лаконично: «вектор скорости не меняется вдоль себя»,

$$\frac{d^{2}x^{i}}{ds^{2}}+\Gamma^{i}_{\;kl}\frac{dx^{k}}{ds}\frac{dx^{l}}{ds}=0 .$$

Кривизна как некоммутативность

Здесь — самое красивое место всей конструкции. Обычные частные производные перестановочны. Ковариантные — нет, и мера их неперестановочности и есть кривизна:

$$\left(\nabla_{k}\nabla_{l}-\nabla_{l}\nabla_{k}\right)V^{i}=R^{i}_{\;jkl}V^{j}.$$

Объект $R^{i}_{\;jkl}$ — тензор кривизны Римана. Он равен нулю тогда и только тогда, когда пространство плоское, то есть когда существуют координаты, в которых $g_{ij}$ постоянна.

Геометрический смысл придал Леви-Чивита в 1917 году, введя параллельный перенос: вектор переносится вдоль кривой так, чтобы его ковариантная производная была нулём. Обнеся вектор по замкнутому контуру, мы, вообще говоря, получим не тот вектор, с которого начали, — и поворот будет тем больше, чем больше кривизна внутри контура.

Проверить это можно на глобусе, и это лучший школьный опыт по римановой геометрии. Возьмите вектор на экваторе, направленный на север. Пронесите его вдоль экватора на четверть окружности, потом по меридиану до полюса, потом обратно по другому меридиану к экватору — всё время параллельно, то есть не поворачивая относительно пути. Вернувшись, вы обнаружите вектор повёрнутым на $90^\circ$. Это и есть кривизна сферы, измеренная изнутри.

Из полного тензора Риччи выделил свёртки, названные его именем:

$$R_{jl}=R^{i}_{\;jil}\quad(\textbf{тензор Риччи}),\qquad R=g^{jl}R_{jl}\quad(\textbf{скалярная кривизна}).$$

Именно они окажутся нужны в уравнениях гравитации, и объяснение простое: тензор Риччи описывает, как меняется объём маленького шарика при движении вдоль геодезических, а гравитация как раз и сжимает объёмы.

Отдельно стоит тождество Бьянки (Луиджи Бьянки, 1902; в частной форме оно было и раньше). В свёрнутом виде оно даёт

$$\nabla^{i}\left(R_{ij}-\tfrac12 g_{ij}R\right)=0 .$$

Комбинация в скобках — тензор Эйнштейна. Его дивергенция обращается в нуль тождественно, по геометрическим причинам, а не в силу каких-либо уравнений. Именно поэтому в правой части уравнений поля может стоять тензор энергии-импульса, дивергенция которого равна нулю по закону сохранения. Форма уравнений Эйнштейна была предопределена геометрией.

Двадцать лет невостребованности

Мемуар 1900 года приняли прохладно: аппарат считали громоздким, а задачи, для которых он предназначался, — экзотическими. Риччи выдвигали на премии, но он их не получал; известность к нему пришла посмертно.

Перелом наступил в 1912 году, когда Эйнштейн, застряв с обобщением теории относительности, обратился за помощью к однокашнику Марселю Гроссману, математику. Тот, покопавшись в литературе, принёс ему работы Риччи и Леви-Чивиты. Эйнштейн потом писал, что был поражён: аппарат, созданный без всякой мысли о физике, оказался в точности тем, что требовалось.

С Леви-Чивитой у Эйнштейна завязалась переписка; тот критиковал его выкладки, и Эйнштейн отвечал, что восхищается изяществом его вычислений — «вы ездите верхом, а я хожу пешком». Позднейшая история отдала должное всем: тензорный анализ носит имена обоих итальянцев, а вторая свёртка кривизны — тензор Риччи — стала в 1982 году главным героем ещё одного сюжета этой линии, когда Гамильтон предложил эволюционировать метрику по нему, и через двадцать лет Перельман довёл эту идею до доказательства гипотезы Пуанкаре.

Задача. На сфере радиуса $R$ в координатах $(\theta,\varphi)$ метрика равна $ds^{2}=R^{2}d\theta^{2}+R^{2}\sin^{2}\theta\,d\varphi^{2}$. Вычислите символы Кристоффеля и убедитесь, что уравнение геодезической выполняется для меридианов ($\varphi=\mathrm{const}$), но не для параллелей, кроме экватора.
(Ответ: ненулевые символы $\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta$, $\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}=\ctg\theta$. Для параллели уравнение даёт $\sin\theta\cos\theta=0$, то есть $\theta=\pi/2$ — экватор.)

Следующая точка: Стокгольм — где геометрия вернётся к движению твёрдого тела и найдёт третий, последний интегрируемый случай.