Александров: кривизна без гладкости

Задача

Вся риманова геометрия требует гладкости. Чтобы определить кривизну по Риману и Риччи, нужны вторые производные метрики; нет производных — нет кривизны.

Между тем множество совершенно естественных объектов не гладкие: поверхность куба, конус, граница выпуклого тела, склейка многогранника из плоских кусков. У поверхности куба интуитивно есть кривизна — она сосредоточена в восьми вершинах, — но формула ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. к ней неприменима ни в одной точке.

Хуже того, и это окажется решающим: предел последовательности гладких поверхностей гладким быть не обязан. А значит, любой метод, требующий предельного перехода, выводит нас из класса, в котором мы умеем работать.

Ответ: сравнение треугольников

Александр Данилович Александров (1912–1999) предложил измерять кривизну так, чтобы производные не понадобились вовсе.

Возьмём в метрическом пространстве три точки $A$, $B$, $C$ и соединим их кратчайшими. Построим на модельной плоскости постоянной кривизны $k$ треугольник $\tilde A\tilde B\tilde C$ с теми же длинами сторон — треугольник сравнения. Возьмём точку $X$ на стороне $BC$ и соответствующую ей точку $\tilde X$ на $\tilde B\tilde C$ (на том же расстоянии от вершины). Сравним:

$$|AX|\;\geqslant\;|\tilde A\tilde X|\quad\text{для всех }X\;\Longleftrightarrow\;\text{кривизна}\;\geqslant k;$$
$$|AX|\;\leqslant\;|\tilde A\tilde X|\quad\text{для всех }X\;\Longleftrightarrow\;\text{кривизна}\;\leqslant k.$$

Проще говоря: треугольник «толще» плоского — кривизна положительна, «тоньше» — отрицательна. Никаких производных, только расстояния; определение работает в любом метрическом пространстве, где есть кратчайшие.

Проверка на понятном примере: на сфере треугольник «раздут», его стороны выгибаются наружу, и точки на них дальше друг от друга, чем на плоскости, — кривизна положительна. На седле наоборот. У поверхности куба вне вершин треугольники плоские, а всякий треугольник, охватывающий вершину, оказывается «толще» — вся кривизна собрана в восьми точках, и суммарно её ровно $4\pi$, как на сфере, чего и требует формула Гаусса — Бонне.

Для гладких многообразий новое определение совпадает со старым — это теорема. Для негладких оно работает там, где старое не определено.

Почему это оказалось важнее, чем выглядело

Главное свойство — замкнутость относительно предельного перехода.

Класс гладких римановых многообразий с ограниченной кривизной незамкнут: последовательность гладких поверхностей может сходиться к конусу. Класс же пространств Александрова с ограничением $K\geqslant k$ замкнут относительно сходимости ГромоваМихаил Леонидович Громовсоветский и французский математик · род. 1943Научил смотреть на пространство издалека — так, что детали пропадают, а остаётся форма; из этого вышли геометрия групп, теорема о полиномиальном росте и предельные переходы, без которых не работает… — ХаусдорфаФеликс Хаусдорфнемецкий математик и писатель · 1868–1942Дал определение топологического пространства, на котором предмет стоит до сих пор; половину жизни писал под псевдонимом эссе, стихи и пьесы, и многие знакомые не знали, что это один человек.. Предел никуда не выпадает, с ним можно работать дальше.

Это превращает геометрию в науку, где законны рассуждения вида «возьмём последовательность и перейдём к пределу» — то есть открывает её для методов анализа. В гладком мире такие рассуждения запрещены; в александровском разрешены.

Терминология закрепилась не сразу: пространства с ограничением кривизны сверху принято называть CAT(k) — КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал., Александров, Топоногов; аббревиатуру придумал Громов.

Из той же школы — теорема сравнения Топоногова (1959), ставшая рабочим инструментом всей глобальной римановой геометрии, и знаменитая теорема Александрова о склейке: если склеить два конуса или два куска поверхности по границам одинаковой длины, получится пространство с ограниченной снизу кривизной. Ещё раньше, в 1942 году, он доказал, что всякая выпуклая метрика на сфере реализуется поверхностью выпуклого тела — то есть внутренняя геометрия полностью определяет форму.

Прямая дорога к ПерельмануГригорий Яковлевич Перельманроссийский математик · род. 1966Тремя препринтами закрыл гипотезу Пуанкаре и более общую гипотезу геометризации Тёрстона, после чего отказался от Филдсовской медали, от миллиона долларов и от математики.

Связь с финальной точкой линии не метафорическая, а техническая.

Риччиев поток ГамильтонаУильям Роуэн Гамильтонирландский математик, физик и астроном · 1805–1865Пятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности. — Перельмана порождает особенности: в момент перетяжки шеи кривизна обращается в бесконечность и гладкость теряется. Чтобы понять, что именно там происходит, надо взять последовательность решений с растущим масштабом и перейти к пределу — а предел, вообще говоря, не многообразие. Работать с ним умеет именно александровская геометрия.

Линия преемственности прямая: Александров → его ученики Ю. Д. Бураго и В. А. Залгаллер → работа Бураго, Громова и Перельмана об александровских пространствах (1992) → препринты 2002–2003 годов. Десять лет между предпоследним и последним звеном.

Стоит добавить, что и сама формулировка гипотезы геометризации Тёрстона — о том, что трёхмерный мир распадается на куски с одной из восьми однородных геометрий, — это утверждение о том, какие метрики на многообразии возможны, то есть вопрос ровно того типа, которым занимался Александров.

Человек

Александров был ректором Ленинградского университета в 1952–1964 годах, и в этом качестве сделал вещь, которую стоит помнить. В разгар господства Лысенко он сохранил в университете преподавание генетики и добился создания отдельной кафедры генетики, прямо противопоставленной официальной линии. Университетская биология в Ленинграде пережила лысенковщину благодаря математику.

Он же был альпинистом — мастером спорта, ходил в горы со студентами и будучи ректором. И философом науки: ему принадлежат работы о природе математического знания и учебники геометрии для школы, по которым учили в позднем СССР.

Задача. Поверхность куба со стороной 1. Возьмите треугольник, охватывающий одну вершину: три точки на трёх рёбрах, выходящих из неё, на расстоянии $t$ от вершины. Найдите сумму его углов на развёртке и убедитесь, что «избыток» равен $\pi/2$ независимо от $t$.
(Указание: развернув три квадратные грани на плоскость, вокруг вершины получится угол $3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$ вместо $2\pi$; недостающие $\pi/2$ и есть кривизна, собранная в вершине. Восемь вершин дают $8\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi$ — как у сферы.)

Следующая точка: Амстердам — где художник без школьного аттестата по математике упрётся в тот же список из семнадцати узоров и уйдёт из евклидовой плоскости, чтобы его обойти.