Михаил Леонидович Громов

Громов переменил не набор теорем, а угол зрения. Его вопрос всегда один: как выглядит объект, если отойти достаточно далеко?

Ленинград и Париж

Родился в 1943 году в Бокситогорске Ленинградской области, куда мать, военный врач, была эвакуирована с фронтом. Учился в Ленинградском университете у Владимира Рохлина.

Диссертация была из тех работ, которые сразу становятся легендой: он доказал h-принцип — утверждение о том, что огромный класс геометрических задач, выглядящих жёсткими, на деле решается всегда, если только нет очевидного топологического препятствия. Из этого выросла теория гомотопических принципов и «мягкой» геометрии.

В 1974 году, после нескольких лет отказов, он получил разрешение уехать. Работал в Нью-Йорке, с 1982 года и по сей день — в Институте высших научных исследований (IHES) под Парижем.

Взгляд издалека

Главная его идея выглядит так. Возьмём метрическое пространство и станем уменьшать масштаб — смотреть на него со всё большего расстояния. Мелкие детали пропадают; остаётся то, что видно на больших расстояниях. Чтобы говорить об этом строго, нужна метрика на множестве пространств, и он её вводит:

Расстояние Громова — Хаусдорфа между метрическими пространствами: насколько сильно надо исказить одно, чтобы вложить его в другое.

Теперь пространства можно предельно переходить. Теорема компактности Громова: семейство многообразий с ограниченной кривизной и диаметром компактно — из всякой последовательности можно выбрать сходящуюся.

Предел, впрочем, многообразием быть не обязан — гладкость теряется. Зато он остаётся александровским пространством, и с ним умеет работать ленинградская школа. Эта связка — предельный переход Громова плюс геометрия Александрова — и есть техническое основание доказательства Перельмана: риччиев поток образует особенности, и анализировать их иначе нельзя.

Группы как пространства

Второй сюжет, из-за которого возникла целая область. Конечно порождённая группа превращается в метрическое пространство: вершины — элементы, рёбра — умножение на образующую, расстояние — длина кратчайшего слова (граф Кэли). Посмотрим на этот граф издалека.

Теорема Громова (1981). Конечно порождённая группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она почти нильпотентна.

Доказательство — образец метода: берём граф Кэли, сжимаем метрику, переходим к пределу Громова — Хаусдорфа, получаем связное локально компактное однородное пространство и применяем к нему решение пятой проблемы Гильберта. Алгебраическое утверждение доказано геометрией.

Отсюда же гиперболические группы — те, чей граф Кэли похож на дерево в большом масштабе. У них алгоритм Дена решает проблему тождества слов за линейное время, для них доказана гипотеза Новикова, и они оказались «типичными»: случайно взятая группа гиперболична.

Ещё

Ему принадлежат симплектическая теорема о неупаковываемости («принцип верблюда»), псевдоголоморфные кривые, из которых выросли гомологии Флоера и теория Громова — Виттена, теория заполнения и систолические неравенства.

Абелевская премия 2009 года. Последние годы он много пишет о биологии, мышлении и о том, как устроено научное воображение, — текстами, которые читаются как философия и написаны математиком.