Александр Данилович Александров

Однофамильцев здесь двое, и путать их не стоит. А. Д. Александров — Ленинград, геометрия. П. С. Александров — Москва, топология; они не родственники.

Кривизна без производных

Со времён Гаусса и Римана кривизна определялась через производные метрики — значит, поверхность обязана быть гладкой. Между тем предел гладких поверхностей гладким быть не обязан: последовательность сфер может сходиться к конусу, у которого в вершине никаких производных нет.

Александров предложил определять кривизну сравнением треугольников. Возьмём в пространстве три точки, соединим кратчайшими, построим на плоскости постоянной кривизны $k$ треугольник с теми же длинами сторон — и посмотрим, толще наш треугольник модельного или тоньше. Производные не понадобились вовсе.

Выигрыш в том, ради чего всё и делалось: класс пространств с ограничением $K \geqslant k$ замкнут относительно сходимости Громова — Хаусдорфа. Предел никуда не выпадает, с ним можно работать. Гладкие многообразия таким свойством не обладают, и именно поэтому пространства Александрова оказались нужны.

Оттуда же теорема о склейке: если склеить два куска поверхности по границам одинаковой длины, получится выпуклая поверхность — утверждение, которое в гладкой постановке просто ложно, потому что вдоль шва гладкости нет.

Обозначение CAT($k$), которым пользуется вся современная геометрия групп, расшифровывается как Картан — Александров — Топоногов; аббревиатуру придумал Громов.

Через полвека

Линия преемственности здесь прямая и короткая: Александров → его ученики Ю. Д. Бураго и В. А. Залгаллер → работа Бураго, Громова и Перельмана об александровских пространствах (1992) → доказательство гипотезы Пуанкаре.

Риччиев поток выравнивает кривизну, но по дороге образует особенности, и в этот момент гладкая картина рушится. Анализировать происходящее позволяет именно техника предельных переходов в пространствах Александрова. Ленинградская геометрическая школа сорокалетней выдержки понадобилась целиком.

Ректор, альпинист, философ

Родился в 1912 году в рязанской деревне Волынь, учился и работал в Ленинграде. С 1952 по 1964 год был ректором Ленинградского университета — и в этой должности сделал вещь, которую ему помнят до сих пор: защищал генетику и биологов-менделистов в годы, когда это было небезопасно, и восстанавливал в университете нормальную биологию.

Был мастером спорта по альпинизму, ходил в горы со студентами, не бросив этого и будучи ректором; один из пиков на Памире назван его именем. Писал работы о природе математического знания и школьные учебники геометрии, по которым учили в позднем СССР.

В 1964 году уехал в новосибирский Академгородок и проработал там двадцать с лишним лет, потом вернулся в Ленинград. Умер в 1999 году в Новосибирске, похоронен в Петербурге.