Громов: геометрия групп и больших расстояний

Приём: смотреть издалека

Михаил Леонидович Громов (род. 1943) учился и работал в Ленинграде, в 1974 году эмигрировал, преподавал в Стони-Брук, а с 1982 года — постоянный профессор Института высших научных исследований (IHES) под Парижем.

Приём, определивший его стиль, формулируется просто: взять объект и посмотреть на него с большого расстояния.

Возьмём группу с конечным числом образующих. Построим её граф КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы.: вершины — элементы группы, рёбра соединяют $g$ и $gs$ для образующих $s$. Расстояние между элементами — длина кратчайшего слова, их связывающего. Группа стала метрическим пространством.

Теперь начнём уменьшать масштаб: рассмотрим то же пространство с метрикой, делённой на $n$, и устремим $n$ к бесконечности. Отдельные вершины сольются, дискретная картина размажется — и, если повезёт, получится непрерывный предельный объект, «асимптотический конус» группы.

Чтобы такой предельный переход имел смысл, нужно уметь говорить о сходимости самих пространств. Это и есть

Расстояние Громова — ХаусдорфаФеликс Хаусдорфнемецкий математик и писатель · 1868–1942Дал определение топологического пространства, на котором предмет стоит до сих пор; половину жизни писал под псевдонимом эссе, стихи и пьесы, и многие знакомые не знали, что это один человек. между метрическими пространствами: насколько близко их можно уложить в одно объемлющее пространство.

Вместе с теоремой компактности Громова (семейство многообразий с ограниченной кривизной и диаметром предкомпактно) это дало рабочий инструмент: последовательности пространств можно переходить к пределу. Предел, вообще говоря, не многообразие — но с ним умеет работать геометрия Александрова, и именно эта связка через двадцать лет понадобится Перельману.

Теорема о полиномиальном росте

Первое громкое применение приёма — результат, поражающий несоответствием между условием и методом.

Функция роста группы: $\beta(r)$ — число элементов, записываемых словом длины не больше $r$. Примеры:

• $\mathbb{Z}^{d}$: $\beta(r)\sim c\,r^{d}$ — рост полиномиальный степени $d$;
• свободная группа с двумя образующими: $\beta(r)\sim 3\cdot 2^{r-1}$ — рост экспоненциальный;
• группа Гейзенберга (верхнетреугольные целочисленные матрицы $3\times3$): рост полиномиальный степени 4 — не 3, что уже неочевидно.

МилнорДжон Милнорамериканский математик · 1931–2025Нашёл семимерные сферы, гомеоморфные обычной, но не диффеоморфные ей, — и обнаружил этим, что топологическая структура и гладкая не одно и то же. Пытался доказать противоположное. и Вольф в 1968 году заметили, что у нильпотентных групп рост полиномиален, и спросили, верно ли обратное.

Теорема Громова (1981). Конечно порождённая группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса.

Утверждение чисто алгебраическое: и условие, и вывод — о группах. А доказательство геометрическое: Громов рассматривает граф Кэли, сжимает метрику, переходит к пределу Громова — Хаусдорфа и получает связное локально компактное однородное пространство. Дальше вступает решение пятой проблемы ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. (Глисон, Монтгомери, Циппин, 1952): такое пространство оказывается группой Ли. А из наличия группы Ли уже выводится нильпотентность.

Алгебраическая теорема доказана переходом к пределу в геометрии — ход, которого до этого никто не делал. С этой работы принято отсчитывать геометрическую теорию групп.

Гиперболические группы

Второй сюжет (1987) объясняет, почему алгоритм Дена работает не только для поверхностей.

Назовём метрическое пространство гиперболическим по Громову, если все его треугольники «тонкие»: каждая сторона лежит в $\delta$-окрестности двух других. В евклидовой плоскости это неверно (треугольники бывают толстыми), а в плоскости ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. верно с $\delta$, зависящей только от кривизны.

Группа называется гиперболической, если таков её граф Кэли. И тогда:

• проблема тождества слов решается алгоритмом ДенаМакс Деннемецкий математик · 1878–1952Первым решил задачу из списка Гильберта — и решил отрицательно; поставил три вопроса о группах, из которых выросла комбинаторная теория групп; кончил жизнь преподавателем в колледже для художников. — автоматически, из одной геометрии;
• проблема сопряжённости тоже разрешима;
• группа имеет конечное представление и много других хороших свойств.

Громов доказал, что в естественном вероятностном смысле «почти всякая» конечно определённая группа гиперболична. То есть класс, для которого неразрешимость П. С. Новикова не наступает, — не исключение, а правило.

Псевдоголоморфные кривые

Третий сюжет (1985) касается совсем другой области. Громов ввёл в симплектическую геометрию псевдоголоморфные кривые — аналог голоморфных кривых для многообразий без комплексной структуры, — и доказал результат, известный как теорема о несжимаемости, или «принцип симплектического верблюда»:

Шар радиуса $R$ нельзя симплектическим преобразованием запихнуть в цилиндр радиуса $r<R$, даже если объём позволяет.

Утверждение неожиданное: симплектические преобразования сохраняют объём, и, казалось бы, шар можно вытянуть в длинную тонкую сосиску. Оказывается, нельзя — существует жёсткость, невидимая объёму. Из этой работы выросла симплектическая топология, а вместе с ней — гомологии Флоера и теория Громова — ВиттенаЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами., связанная с квантовой теорией поля.

Ему же принадлежит h-принцип — общий метод, объясняющий, когда геометрическая задача сводится к чисто топологической (в частности, объясняющий выворачивание сферы Смейла и $C^1$-вложения Нэша).

Стиль

Громов известен манерой мышления, которую коллеги описывают как совершенно нестандартную: он предпочитает грубые качественные рассуждения точным вычислениям и часто формулирует утверждения раньше, чем находит доказательства. Его книги («Метрические структуры для римановых и нериманановых пространств», «Partial Differential Relations») считаются трудными для чтения даже специалистами и одновременно источником идей на десятилетия.

Премия Вольфа 1993 года, Киотская премия 2002 года, Абелевская премия 2009 года — «за революционный вклад в геометрию».

Задача. Посчитайте функцию роста для свободной группы с двумя образующими $a,b$ и убедитесь, что она экспоненциальна.
(Ответ: слов длины ровно $r$ в несократимой записи $4\cdot3^{r-1}$ (первая буква — одна из четырёх: $a,a^{-1},b,b^{-1}$, каждая следующая — любая, кроме обратной к предыдущей). Суммируя, $\beta(r)=1+4\cdot\frac{3^{r}-1}{2}$ — экспонента. Для сравнения, у $\mathbb{Z}^{2}$ шар радиуса $r$ содержит около $2r^{2}$ элементов.)

Следующая точка: Оксфорд — где физика вернёт топологии долг и обнаружится, что четвёртая размерность особенная.