Нэш: всякая геометрия помещается в евклидову

Вопрос, оставленный РиманомБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.

Риман объявил, что геометрия многообразия задаётся метрикой изнутри и не нуждается в объемлющем пространстве. Мысль освобождающая — именно она позволила говорить о кривизне Вселенной, не спрашивая, внутри чего Вселенная лежит.

Но остаётся естественный вопрос: а объемлющее пространство хотя бы существует? Можно ли всякое абстрактное риманово многообразие уложить в $\mathbb{R}^{N}$ так, чтобы все длины кривых сохранились? Задачу поставил Шлефли в 1873 году; частные результаты получали Жане (1926) и КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. (1927) — только для аналитического случая и локально.

Тревога была не пустой. Гильберт в 1901 году доказал, что плоскость ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. целиком в $\mathbb{R}^{3}$ не вкладывается: полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны в трёхмерном пространстве не существует. Если так бывает, может быть, есть многообразия, которым не хватит и никакой размерности?

Ответ

Джон Нэш (1928–2015), работавший тогда в Массачусетском технологическом институте, ответил дважды и по-разному.

Теорема 1956 года (гладкий случай). Всякое риманово многообразие размерности $n$ допускает изометрическое $C^{\infty}$-вложение в $\mathbb{R}^{N}$ при достаточно большом $N$ (для компактных годится $N=\frac{n(3n+11)}{2}$).

Ответ положительный и окончательный: абстрактной геометрии, которой не нашлось бы места в обычном пространстве, не существует. Риманов подход и наглядный подход равносильны — просто размерность может понадобиться большая.

Теорема 1954 года ($C^1$-случай). А вот здесь начинается странное. Для непрерывно дифференцируемых вложений размерность нужна смехотворно малая: Нэш доказал теорему для $\mathbb{R}^{n+2}$, а Кёйпер в 1955 году довёл до $\mathbb{R}^{n+1}$ — то есть добавляется одно измерение. И следствия абсурдны:

Единичную сферу можно изометрически вложить в шар сколь угодно малого радиуса.

То есть сферу можно смять — все длины кривых на ней при этом сохранятся в точности, ничего не растянется и не порвётся.

Как это уживается с theorema egregium? Никак — и в этом всё дело. Теорема Гаусса запрещает такое для $C^{2}$-поверхностей: кривизна определяется внутренней метрикой, значит сохраняется, а у маленькой сферы она большая, и в маленький шар большая сфера с сохранённой кривизной не поместится. Но кривизна вычисляется через вторые производные, а у $C^{1}$-поверхности их попросту нет. Запрет опирается на гладкость, которой у объекта не имеется.

Долгое время это считали чистой патологией — конструкция существовала, но никто не мог себе представить, как такая поверхность выглядит. В 2012 году французская группа (Борелли, Жабран, Лазарюс, Тибер) вычислила и нарисовала $C^1$-вложение плоского тора: получился объект с бесконечно ветвящейся, фрактальной на вид рябью — «гладкий фрактал», у которого касательная плоскость есть в каждой точке, а кривизны нет нигде.

Мораль, которую стоит запомнить школьнику: гладкость бывает разных степеней, и от степени зависит, какие теоремы верны. $C^1$ и $C^2$ — не оттенки строгости, а разные миры.

Метод

Доказательство 1956 года потребовало нового аналитического аппарата. Прямая итерация НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. здесь не работает: на каждом шаге решение теряет производные, и процесс расходится. Нэш придумал схему с ускоренной сходимостью — сглаживанием на каждом шаге и квадратичной скоростью, перекрывающей потерю.

Схема получила название теоремы Нэша — Мозера (Мозер придал ей общую форму в 1966-м) и живёт далеко за пределами исходной задачи. В частности, ровно эта техника лежит в основе КАМ-теории — доказательства устойчивости почти-периодических движений, где ту же трудность с потерей производных приходится обходить тем же приёмом. Два независимых сюжета карты — геометрия вложений и небесная механика — оказались одним анализом.

Человек

Нэш известен широкой публике по другой работе: равновесие в некооперативных играх, придуманное им в диссертации 1950 года на 27 страницах, принесло ему Нобелевскую премию по экономике 1994 года. Сам он математической ценностью этой работы не дорожил и считал главными именно теоремы о вложении и работы об уравнениях в частных производных.

Между 1959 и концом 1980-х он почти тридцать лет болел шизофренией и не работал; ремиссия пришла постепенно и без лечения. В 2015 году Нэш получил Абелевскую премию (вместе с Ниренбергом) — за нелинейные уравнения в частных производных; через несколько дней после возвращения из Осло они с женой погибли в автомобильной аварии.

Задача. Объясните, почему обычную (гладкую) единичную сферу нельзя изометрически вложить в шар радиуса $0{,}1$. (Указание: по theorema egregium гауссова кривизна сохранилась бы и равнялась 1 всюду; с другой стороны, для поверхности, лежащей внутри шара радиуса $r$, в точке касания с граничной сферой обе главные кривизны по модулю не меньше $1/r=10$, откуда $K\geqslant100$. Противоречие.) Затем объясните, какой шаг этого рассуждения отказывает для $C^1$-поверхности.

Следующая точка: Брукхейвен — где физики второй раз изобретут дифференциальную геометрию, не подозревая об этом.