Янг — Миллс: геометрия, не узнавшая себя

Что было сделано

Летом 1953 года Чжэньнин Янг, приехавший на год в Брукхейвенскую национальную лабораторию, делил кабинет с молодым сотрудником Робертом Миллсом. В октябре 1954-го вышла их статья в Physical Review — «Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность».

Замысел был такой. Электродинамика обладает калибровочной симметрией: волновую функцию заряженной частицы можно умножить на фазовый множитель $e^{i\alpha(x)}$, свой в каждой точке, и физика не изменится — при условии, что одновременно подправить электромагнитный потенциал. Группа здесь — окружность $U(1)$, она коммутативна.

Янг и Миллс спросили: а если группа некоммутативна? Протон и нейтрон почти одинаковы по отношению к сильному взаимодействию, их можно считать двумя состояниями одной частицы, и допустимо «поворачивать» одно в другое преобразованием из $SU(2)$. Потребуем, чтобы такой поворот можно было делать независимо в каждой точке пространства.

Требование немедленно порождает поле-компенсатор $A_{\mu}$ со значениями в алгебре Ли группы, и его напряжённость получается не такой, как в электродинамике:

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+[A_{\mu},A_{\nu}] .$$

Последний член — коммутатор — и есть вся разница. Из-за него поле взаимодействует само с собой: глюоны в отличие от фотонов притягиваются друг к другу, и отсюда, в конечном счёте, конфайнмент кварков.

Возражение Паули

В феврале 1954 года Янг докладывал работу на семинаре в Принстоне. В зале сидел Вольфганг Паули, который сам за год до этого пришёл к похожим формулам, отказался от них и не публиковал.

После первых же фраз Паули спросил: «А какова масса этого поля?» Янг ответил, что вопрос сложный. Паули повторил вопрос. Янг сел и не мог продолжать; заседание спас Оппенгеймер.

Возражение было убийственным. Калибровочная инвариантность запрещает полю иметь массу, а безмассовое поле давало бы дальнодействие — которого у ядерных сил нет. Из-за этого работа Янга и Миллса десять лет считалась красивой, но нефизичной. Выход нашли в 1964-м — механизм спонтанного нарушения симметрии (Хиггс, Энглер, Браут), в котором поле приобретает массу, а инвариантность формально сохраняется. За это дали Нобелевскую премию 2013 года, после того как бозон нашли на Большом адронном коллайдере.

Словарь, которого никто не открывал двадцать лет

Теперь сравним то, что написали физики, с тем, что было в учебниках дифференциальной геометрии.

Геометрия (КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал., Эресман, ЧернШиинг-Шен Чернкитайско-американский математик · 1911–2004Показал, что определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики; классы Черна связали геометрию с топологией и потом оказались языком физики калибровочных полей., 1920–1950-е)	Физика (ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения., Янг — Миллс)
главное расслоение со структурной группой $G$	пространство внутренних степеней свободы
связность $\omega$	калибровочное поле (потенциал) $A_{\mu}$
кривизна $\Omega=d\omega+\tfrac12[\omega,\omega]$	напряжённость поля $F_{\mu\nu}$
параллельный перенос	фазовый множитель вдоль пути
голономия	фаза при обходе контура (эффект Ааронова — Бома)
смена локальной тривиализации	калибровочное преобразование
характеристические классы (Черн, ПонтрягинЛев Семёнович Понтрягинсоветский математик · 1908–1988Ослеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора.)	топологические заряды, инстантонные числа
тождество Бьянки $d\Omega+[\omega,\Omega]=0$	однородные уравнения Максвелла

Совпадение полное, вплоть до формул. Заметим, что и общая теория относительности встраивается в ту же схему: там роль связности играют символы Кристоффеля, роль кривизны — тензор РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики., а роль калибровочной группы — группа локальных преобразований координат.

Предыстория тоже геометрическая. Герман Вейль в 1918 году попытался объединить гравитацию и электромагнетизм, допустив, что при параллельном переносе меняется не только направление, но и масштаб («Eichung» — калибровка, отсюда термин). ЭйнштейнАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. сразу указал на убийственное возражение: тогда частоты атомных спектров зависели бы от истории атома, а этого нет. Теория умерла, но в 1929 году Вейль вернул идею, заменив изменение масштаба изменением фазы квантовой волновой функции, — и получил электродинамику. Слово «калибровочный» осталось от первой, неверной версии.

Встреча

Двадцать лет обе стороны не знали друг о друге. Развязка наступила в Стони-Бруке в начале 1970-х, где Янг заведовал кафедрой физики, а Джеймс Саймонс — кафедрой математики (тот самый Саймонс, соавтор форм Черна — Саймонса, впоследствии основатель хедж-фонда Renaissance Technologies). Саймонс объяснил Янгу, что тот занимается теорией расслоений; Янг сел читать Стинрода — и, по собственным словам, ничего не понял, потому что книга была написана без единого примера.

В 1975 году Янг и У Даюн опубликовали статью со словарём — таблицей соответствия физических и геометрических терминов, вроде приведённой выше. Тогда же Янг съездил к Шиинг-Шен Черну и сказал, что поражён: калибровочные поля — это в точности связности на расслоениях, и математики придумали их «из ничего». Черн, по воспоминаниям Янга, возразил: «Нет-нет, эти понятия не были придуманы — они естественны и реальны».

Дальше всё пошло очень быстро. Уже в 1975-м физики нашли инстантоны — решения уравнений Янга — Миллса с конечным действием, — а математики немедленно опознали в них объекты, классифицируемые вторым классом Черна. Через семь лет Саймон Дональдсон применит пространства модулей инстантонов к топологии четырёхмерных многообразий, и долг будет возвращён с процентами: физика окажется инструментом чистой математики.

Что это сегодня

На языке Янга — Миллса написана вся Стандартная модель элементарных частиц с калибровочной группой

$$SU(3)\times SU(2)\times U(1),$$

где $SU(3)$ отвечает за сильное взаимодействие, а $SU(2)\times U(1)$ — за объединённое электрослабое. Это самая точно проверенная физическая теория в истории.

Математическая же сторона до конца не разобрана: существование квантовой теории Янга — Миллса и наличие у неё щели в спектре масс входит в список семи задач тысячелетия Института Клэя. Из этого списка решена ровно одна — и решена она в конце этой же линии.

Задача. Проверьте, что в абелевом случае (группа $U(1)$, поле $A_\mu$ — обычные числа) коммутатор $[A_\mu,A_\nu]$ обращается в нуль и формула $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ даёт стандартные компоненты электрического и магнитного полей. Убедитесь, что тождество $\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$ — это в точности пара уравнений Максвелла $\operatorname{div}\mathbf B=0$ и $\operatorname{rot}\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$.

Следующая точка: Казань — где через сто двадцать восемь лет после ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. разберут по косточкам кривизну реального пространства-времени.