Виттен: топологическая квантовая теория поля

Вопрос, оставленный ДжонсомВон Джонсновозеландский математик · 1952–2020Занимался операторными алгебрами, заметил, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и нашёл инвариант узлов, которого топологи не могли найти сто лет.

Полином Джонса (1984) вычислялся скейн-соотношением и работал безупречно — но оставался фокусом. Откуда он взялся? Почему операторные алгебры что-то знают про узлы? Ни одного «внутреннего» объяснения не было.

Майкл Атья на конференции 1988 года сформулировал задачу прямо: найти для полинома Джонса трёхмерную интерпретацию — такую, где не нужно выбирать плоскую диаграмму узла, а сам узел рассматривается в пространстве.

Ответ дал Эдвард Виттен (род. 1951), физик из Института перспективных исследований в Принстоне, — в работах 1988 и 1989 годов.

Действие, не знающее метрики

Возьмём трёхмерное многообразие $M$ и калибровочное поле $A$ (связность на расслоении с группой $SU(2)$). Рассмотрим действие ЧернаШиинг-Шен Чернкитайско-американский математик · 1911–2004Показал, что определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики; классы Черна связали геометрию с топологией и потом оказались языком физики калибровочных полей. — Симонса:

$$S(A)=\frac{k}{4\pi}\int_{M}\operatorname{tr}\left(A\wedge dA+\tfrac23\,A\wedge A\wedge A\right).$$

Формы, стоящие под интегралом, придумали в 1974 году Черн и Джеймс Саймонс — тот самый, что объяснил Янгу, чем он занимается.

Ключевое свойство выписано прямо в формуле, и его стоит заметить: здесь нет метрики. Обычное действие ЯнгаЧжэньнин Янгкитайско-американский физик-теоретик · 1922–2025Написал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. — МиллсаРоберт Миллсамериканский физик-теоретик · 1927–1999Молодой сотрудник, деливший кабинет с Янгом в Брукхейвене, соавтор уравнений, которые оказались чистой геометрией расслоений и стали основой всей физики частиц. содержит $\int\operatorname{tr}F\wedge{*}F$, а звёздочка Ходжа требует расстояний и углов. Здесь только внешние произведения форм — операции, определённые на любом гладком многообразии.

Значит, всё, что из этого действия получается, автоматически не зависит от геометрии, а зависит только от топологии. Теория с таким свойством называется топологической квантовой теорией поля (TQFT); общую аксиоматику предложил Атья в том же 1988-м.

Узел как наблюдаемая

Теперь возьмём узел $K\subset M$ и рассмотрим петлю Вильсона — след параллельного переноса вдоль узла:

$$W(K)=\operatorname{tr}\ \mathcal{P}\exp\oint_{K}A .$$

Величина, интересная физикам с 1970-х: она измеряет, как поле «чувствует» замкнутый контур.

Виттен вычислил её среднее значение в теории Черна — Симонса — и получил:

$$\Big\langle W(K)\Big\rangle\ =\ V_K(t),\qquad t=\exp\!\left(\frac{2\pi i}{k+2}\right),$$

то есть в точности полином Джонса, вычисленный в корне из единицы.

Загадка объяснилась. Инвариантность относительно движений Райдемайстера, которую приходилось проверять руками, следует автоматически из того, что теория не видит метрики: подвинуть кусок узла — то же самое, что чуть изменить геометрию, а она в ответ не входит.

Более того, конструкция сразу дала больше исходного: она определена на любом трёхмерном многообразии, а не только в $\mathbb{R}^{3}$. Значит, из неё получаются инварианты самих трёхмерных многообразий, а не только узлов в них.

Оговорка о строгости

Вычисление Виттена — физическое: оно опирается на интеграл по траекториям, объект, для которого строгого математического определения нет до сих пор. Формально это не доказательство.

Дальнейшее развитие пошло в две стороны. Математики построили те же инварианты строго и другими средствами: Решетихин и Тураев (1991) получили их из представлений квантовых групп Дринфельда, обойдясь без интегралов по траекториям. А физическая картина осталась источником предсказаний, которые математики потом доказывают.

Это стало устойчивым способом работы, и на карте он встречается не впервые: инстантоны Янга — Миллса дали теорию Дональдсона, конформная теория поля дала алгебре уравнение Янга — Бакстера и квантовые группы, а зеркальная симметрия — предсказания в перечислительной геометрии, часть которых потом доказана.

Виттен

Филдсовская медаль 1990 года — единственная в истории, присуждённая физику. В формулировке отмечено, что его работы, при всей физической мотивации, привели к глубоким математическим результатам, а «его владение математическими методами столь же выдающееся, как и физическая интуиция».

Кроме теории Черна — Симонса, математике он дал:

• суперсимметричное доказательство неравенств Морса (1982) — вывод классической топологической теоремы из квантовой механики, ставший стандартным изложением;
• доказательство теоремы о положительности энергии в общей теории относительности (1981), гораздо более простое, чем предшествующее;
• уравнения Зайберга — Виттена (1994) — они позволили переписать теорию четырёхмерных многообразий, заменив тяжёлые инстантонные вычисления ДональдсонаСаймон Дональдсонбританский математик · род. 1957Взял уравнения физики калибровочных полей и доказал ими теорему чистой топологии; вместе с результатом Фридмана отсюда вышло, что четырёхмерное пространство — единственное, где гладких структур континуум. несравненно более простыми; целую отрасль математики переписали за полгода;
• гипотезу Виттена о пространствах модулей кривых, доказанную Концевичем (Филдсовская медаль 1998 года).

По подсчётам наукометристов, он — самый цитируемый физик-теоретик своего поколения; при этом сам он подчёркивает, что математиком себя не считает.

Задача. Объясните, почему из независимости действия от метрики следует, что среднее значение петли Вильсона — топологический инвариант.
(Указание: если в определении величины метрика не участвует, то любое гладкое изменение формы узла и объемлющего пространства, не меняющее топологии, оставляет величину прежней. Движения Райдемайстера — как раз такие изменения.)

Следующая точка: Дэвис — где полином Джонса окажется всего лишь тенью объекта этажом выше.