Белавин, Поляков и Замолодчиков: конформная симметрия

Почему двумерие особенное

Конформное преобразование — то, которое сохраняет углы, но не длины. В обычном трёхмерном пространстве таких преобразований немного: сдвиги, повороты, растяжения и ещё несколько — конечномерная группа из пятнадцати параметров.

В двух измерениях происходит чудо. Если отождествить плоскость с комплексной, то конформны в точности все голоморфные отображения $z\mapsto w(z)$ — а их бесконечно много, и они образуют бесконечномерную группу.

Инфинитезимальные преобразования $\ell_{n}=-z^{n+1}\partial_{z}$ дают алгебру Витта; в квантовой теории она получает центральное расширение и превращается в алгебру Вирасоро:

$$\left[L_{m},L_{n}\right]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}\,m\!\left(m^{2}-1\right)\delta_{m+n,0}.$$

Здесь всё дело в числе $c$ — центральном заряде. Оно не выбирается из соображений вкуса: у каждой конкретной физической системы оно своё, и, как выяснится, оно определяет о ней почти всё.

Что сделали в 1984 году

А. А. Белавин, А. М. Поляков, А. Б. Замолодчиков. «Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory». Nuclear Physics B 241 (1984), 333–380.

Статья написана в Институте теоретической физики имени Л. Д. Ландау в Черноголовке — небольшом подмосковном научном городке, где с 1965 года работал, вероятно, сильнейший в стране коллектив физиков-теоретиков.

Содержание в трёх пунктах.

Первое: алгебра полей. Произведение двух наблюдаемых, взятых в близких точках, раскладывается в ряд по расстоянию между ними:

$$\varphi_{i}(z)\,\varphi_{j}(w)=\sum_{k}C_{ijk}\,(z-w)^{h_{k}-h_{i}-h_{j}}\,\varphi_{k}(w).$$

Это операторное разложение. Числа $h$ — конформные веса полей, $C_{ijk}$ — структурные константы. Иными словами, поля образуют алгебру — с той особенностью, что «умножение» зависит от расстояния.

Второе: вырожденные представления. У алгебры Вирасоро при некоторых значениях $c$ и $h$ в представлениях появляются нулевые векторы — состояния, тождественно равные нулю. Каждый такой вектор превращается в дифференциальное уравнение на корреляционную функцию. Задача из квантовой теории поля становится задачей о решении линейных дифференциальных уравнений — с гипергеометрическими функциями и всем прочим классическим аппаратом.

Третье: минимальные модели. При специальных значениях

$$c=1-\frac{6(p-q)^{2}}{pq}$$

теория содержит лишь конечное число типов полей и решается точно.

Что из этого посчитали

Здесь у теории есть результат, который стоит показать любому — потому что он проверяем экспериментально.

Возьмём модель Изинга: решётка спинов, каждый смотрит вверх или вниз, соседи предпочитают смотреть одинаково. При критической температуре в системе возникают корреляции всех масштабов сразу, и физические величины ведут себя степенным образом с показателями, которые называются критическими. Их измеряют в лаборатории и считают на компьютерах уже сто лет.

Двумерная модель Изинга в критической точке — это минимальная модель с $c=\tfrac12$. Конформные веса её полей выписываются из формулы Каца, а из весов немедленно следуют критические показатели:

$$\eta=\frac14,\qquad \nu=1,\qquad \beta=\frac18.$$

Числа, описывающие поведение реального вещества у точки фазового перехода, получены из теории представлений бесконечномерной алгебры Ли. Не приближённо, не численно — точно, из соотношений на коммутаторы.

Тем же способом закрываются трикритическая модель Изинга ($c=7/10$), трёхкомпонентная модель Поттса ($c=4/5$) и целое семейство других. А заодно объясняется универсальность: почему совершенно разные вещества у критической точки ведут себя одинаково. Потому что показатели определяются не веществом, а центральным зарядом — то есть алгеброй симметрии, а не микроскопикой.

Связь с этой линией

Точка стоит в линии алгебры, а не в физике, по трём причинам, и все три ведут к соседям.

Назад, к точке о Moonshine. Алгебраическая структура, которую описывает статья — набор полей с операторным разложением, — была вскоре аксиоматизирована. Ричард Борчердс дал ей строгое определение (1986) под именем вершинной алгебры, а Френкель, Леповски и Мёрман построили на этом языке модуль Монстра $V^{\natural}$ (1988). Именно на вершинных алгебрах Борчердс и доказал гипотезу Monstrous Moonshine.

Оговорка о приоритете нужна и здесь. Сами вершинные операторы старше: они появились в дуальных резонансных моделях около 1970 года, а Френкель и КацВиктор Кацсоветский и американский математик · род. 1943Снял с алгебр Ли условие конечномерности — и получил бесконечномерные алгебры Каца — Муди, на представлениях которых сегодня стоят и конформная теория поля, и квантовые группы, и «чудовищный вздор». (1980) уже строили ими представления аффинных алгебр. Так что честная формулировка такая: работа 1984 года не породила вершинные алгебры, но дала ту теорию, алгебраическим скелетом которой они оказались. До неё это были технические приёмы; после — предмет с аксиомами.

Назад, к алгебрам Каца — Муди. Алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры векторных полей на окружности — принадлежит тому же семейству бесконечномерных алгебр Ли, о котором говорится в точке о квантовых группах. Модели Весса — Зумино — ВиттенаЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами. строятся прямо на представлениях аффинных алгебр Каца — Муди; уравнение Книжника — Замолодчикова, описывающее их корреляционные функции, вышло в том же 1984 году и в том же институте.

Вбок, к квантовым группам. Решения уравнения ЯнгаЧжэньнин Янгкитайско-американский физик-теоретик · 1922–2025Написал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. — Бакстера, конформные блоки и представления квантовых групп оказались тремя описаниями одной вещи. ДринфельдВладимир Дринфельдсоветский и американский математик · род. 1954Придумал квантовые группы — деформацию алгебры, из которой инварианты узлов получаются пачками; шестнадцати лет выступал на международном конгрессе, в тридцать шесть получил Филдсовскую медаль. это и сформулировал: категория представлений $U_{q}(\mathfrak g)$ при подходящем $q$ эквивалентна категории, возникающей из конформной теории. Фаддеев, Дринфельд и эта точка — не соседи по времени, а три стороны одного объекта.

Что было дальше

Теорема Замолодчикова о $c$ (1986): вдоль ренормгруппового потока — то есть при переходе от малых масштабов к большим — центральный заряд может только убывать. Величина $c$ оказалась чем-то вроде меры числа степеней свободы, а поток — необратимым. Это опять Черноголовка.

Конформный бутстрап. Идея, что теория определяется одной лишь согласованностью (ассоциативностью операторного разложения и симметрией при перестановке точек), восходит к 1960-м; в двумерии БПЗ показали, что она работает. С 2008 года её численный вариант применяют в трёх измерениях, и сегодня самые точные в мире значения критических показателей трёхмерной модели Изинга получены именно бутстрапом — точнее, чем из экспериментов и чем из моделирования.

Струны и голография. Двумерная конформная теория — это теория мирового листа струны, так что вся статья читается ещё и как глава теории струн; а соответствие между конформной теорией на границе и гравитацией внутри (1997) сделало её языком целого направления в теоретической физике.

Люди

Александр Абрамович Белавин (род. 1942) — соавтор инстантонного решения Белавина, Полякова, Шварца и Тюпкина (1975), одной из самых цитируемых работ по теории поля. Всю жизнь в Черноголовке.

Александр Маркович Поляков (род. 1945) — фигура первой величины: магнитный монополь 'т Хоофта — Полякова, инстантоны и конфайнмент, действие Полякова для струны (1981). С 1989 года в Принстоне; премия Breakthrough (2013).

Александр Борисович Замолодчиков (род. 1952) — теорема о $c$, интегрируемые деформации конформных теорий, работы о двумерной гравитации. Его брат-близнец Алексей Замолодчиков (1952–2007) тоже был выдающимся физиком, и в ссылках на «Замолодчикова» их регулярно путают.

Статья 1984 года входит в число самых цитируемых работ по теоретической физике за всю её историю. Написана она была в подмосковном посёлке, в институте, куда попадали, сдав знаменитый «теорминимум Ландау».

Следующая точка: Принстон — и заметка на полях, ждавшая 358 лет.