Карта → персоналии → биография
Виктор Кац
Victor Kac
Снял с алгебр Ли условие конечномерности — и получил бесконечномерные алгебры Каца — Муди, на представлениях которых сегодня стоят и конформная теория поля, и квантовые группы, и «чудовищный вздор».
Кацев в математике несколько, и по-русски они пишутся одинаково. Виктор — алгебры Каца — Муди. Марк Кац (1914–1984) — формула Фейнмана — Каца и вопрос «можно ли услышать форму барабана». Михаил Кац — историк математики, писавший вместе с Лакатосом и Лаугвицем о том, что Коши не ошибался.
Москва
Родился в 1943 году в Бугуруслане, куда семья была эвакуирована; вырос в Кишинёве. Учился в МГУ у Эрнеста Винберга — специалиста по группам, порождённым отражениями.
Снять условие
Классификация Киллинга и Картана описала все простые конечномерные алгебры Ли: четыре бесконечные серии и пять исключительных, включая знаменитую $E_8$. Классификация полная и красивая, и держится она на одном условии — конечномерности.
В 1967–68 годах независимо друг от друга Виктор Кац в Москве и Роберт Муди в Торонто это условие сняли. Механизм классификации — матрица Картана и диаграмма Дынкина — работает и тогда, когда матрица перестаёт быть положительно определённой; получаются бесконечномерные алгебры, устроенные не хаотично, а по той же схеме.
Важнейший класс — аффинные алгебры Каца — Муди, отвечающие вырожденным (положительно полуопределённым) матрицам. У них есть замечательное свойство: характеры их представлений оказываются модулярными формами — теми самыми функциями из теории чисел. Формула характеров Каца — Вейля и теорема Каца — Петерсона о модулярности связывают алгебру, комбинаторику и теорию чисел в одном месте.
Что из этого выросло
Конформная теория поля строится прямо на представлениях аффинных алгебр Каца — Муди: модели Весса — Зумино — Виттена, уравнение Книжника — Замолодчикова, алгебра Вирасоро как центральное расширение. Конформные веса выписываются из формулы Каца, а из весов немедленно следуют критические показатели физических моделей.
Квантовые группы Дринфельда — деформация как раз этих алгебр. А Борчердс обобщил конструкцию ещё раз и получил алгебры, на которых объяснил «чудовищный вздор» — совпадение размерностей представлений Монстра с коэффициентами модулярной функции.
Линия получается прямая: классификация Киллинга → обобщение Каца и Муди → алгебры Борчердса и квантовые деформации.
MIT
С 1977 года Кац работает в Массачусетском технологическом институте. Ему принадлежат также работы о супералгебрах Ли (классификация конечномерных простых супералгебр — его), о $q$-аналогах, о вершинных алгебрах; книга «Infinite Dimensional Lie Algebras» выдержала три издания и остаётся стандартным изложением предмета.
Премия Вигнера 1996 года, премия Стила за изложение 2015-го.
Точки на карте
Где имя встречается в статьях: сначала точки, где этот человек — главный герой, дальше по хронологии.