Квантовые группы

Откуда это взялось

Не из чистой алгебры, а из математической физики — и, что важнее, в готовом виде.

К началу 1980-х ленинградская школа Фаддеева располагала целым набором алгебр, заданных соотношением $RTT=TTR$ (Фаддеев), каждая из которых обслуживала свою квантовую интегрируемую модель. В основании всех них лежало уравнение ЯнгаЧжэньнин Янгкитайско-американский физик-теоретик · 1922–2025Написал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. — Бакстера:

$$R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}.$$

Смысл: если частицы рассеиваются последовательно, результат не зависит от порядка рассеяний. Матрица $R$ описывает двухчастичное рассеяние.

Физики умели с этими алгебрами работать и не знали, что это за алгебры. Дринфельд и, независимо, японский физик Мичио Джимбо (1985) поняли, что это за структуры — и тем самым превратили набор рабочих приёмов в раздел алгебры.

Идея: деформация

Возьмём алгебру Ли $\mathfrak{g}$ (Киллинг) и её универсальную обёртывающую алгебру $U(\mathfrak{g})$ — ассоциативную алгебру, порождённую элементами $\mathfrak{g}$ с соотношениями $xy-yx=[x,y]$.

Дринфельд и Джимбо строят однопараметрическую деформацию $U_{q}(\mathfrak{g})$: те же образующие, но соотношения зависят от параметра $q$, и при $q\to1$ получается исходная алгебра.

Пример: $U_{q}(\mathfrak{sl}_{2})$. Классические соотношения (Киллинг):

$$[h,e]=2e, \qquad [h,f]=-2f, \qquad [e,f]=h.$$

Квантовый вариант: образующие $e,f,K=q^{h}$, $K^{-1}$ и соотношения

$$KeK^{-1}=q^{2}e, \qquad KfK^{-1}=q^{-2}f, \qquad ef-fe=\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}.$$

Проверим предельный переход. Положим $q=e^{\hbar}$ и разложим при $\hbar\to0$: $K = e^{\hbar h}\approx 1+\hbar h$, $K^{-1}\approx1-\hbar h$, а $q-q^{-1}\approx2\hbar$. Тогда

$$\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}} \approx \frac{2\hbar h}{2\hbar}=h.$$

Получаем $ef-fe=h$ — классическое соотношение. $\checkmark$

Дробь в правой части — это «квантовое число» $[h]_q = \dfrac{q^{h}-q^{-h}}{q-q^{-1}}$, которое при $q\to1$ переходит в $h$. Такие $q$-аналоги пронизывают всю теорию: $q$-факториал, $q$-биномиальные коэффициенты, $q$-гипергеометрические ряды (последние, кстати, изучал ещё Гейне в XIX веке — задолго до всякой физики).

Почему «группа», если это алгебра

Ключевая идея, объясняющая название.

Наблюдение (двойственность). Изучать пространство $X$ — то же самое, что изучать алгебру функций $C(X)$ на нём. Точки восстанавливаются как максимальные идеалы или как гомоморфизмы $C(X)\to\mathbb{C}$. Это содержание теоремы ГельфандаИзраиль Моисеевич Гельфандсоветский и американский математик · 1913–2009Не окончил школы и университета, стал одним из главных математиков века и полвека вёл семинар, который для Москвы был отдельным учебным заведением. — Наймарка (Москва, 1943) для коммутативных C*-алгебр и Nullstellensatz Гильберта для аффинных многообразий.

Ход. Если пространство есть группа, то на алгебре функций появляется дополнительная структура. Умножению $G\times G\to G$ отвечает коумножение

$$\Delta: C(G)\longrightarrow C(G\times G)\cong C(G)\otimes C(G), \qquad (\Delta f)(x,y)=f(xy).$$

Единице отвечает коединица, взятию обратного — антипод. Получается алгебра ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор..

И теперь решающий шаг. Возьмём алгебру Хопфа и сделаем её некоммутативной. Формально это уже не алгебра функций ни на каком пространстве: некоммутативная алгебра не имеет достаточно гомоморфизмов в $\mathbb{C}$, то есть точек больше нет. Но вся остальная структура (коумножение, антипод) сохраняется, и с ней можно работать так же, как с группой.

$$\boxed{\;\text{Квантовая группа} = \text{некоммутативная алгебра Хопфа}\;}$$

Это логический предел линии, начатой Гамильтоном. ГамильтонУильям Роуэн Гамильтонирландский математик, физик и астроном · 1805–1865Пятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности. отказался от коммутативности умножения чисел. Дринфельд отказался от коммутативности алгебры функций — и вместе с ней от самого существования точек пространства.

Что это даёт

1. Решения уравнения Янга — Бакстера. Категория представлений квантовой группы сплетена: перестановка сомножителей в тензорном произведении даёт не тождественный оператор, а нетривиальную $R$-матрицу. Отсюда автоматически возникают решения уравнения Янга — Бакстера, за которыми и охотились физики.

2. Инварианты узлов. Вот самое эффектное приложение, и оно доступно для объяснения.

Уравнение Янга — Бакстера — это в точности третье движение Рейдемейстера в теории узлов, записанное алгебраически. Значит, всякое его решение даёт инвариант узла: заплетаем узел, каждому перекрёстку сопоставляем $R$-матрицу, перемножаем — и результат не зависит от способа изображения узла.

Из $U_{q}(\mathfrak{sl}_{2})$ таким образом получается полином ДжонсаВон Джонсновозеландский математик · 1952–2020Занимался операторными алгебрами, заметил, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и нашёл инвариант узлов, которого топологи не могли найти сто лет. (Вон Джонс, 1984, независимо и совсем другим путём — через алгебры фон НейманаДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь.). Из других квантовых групп — полиномы HOMFLY, Кауффмана и целое семейство инвариантов.

Джонс получил Филдсовскую медаль в 1990 году — на том же конгрессе, что и Дринфельд.

3. Инварианты трёхмерных многообразий. Решетихин и Тураев (1991) построили из квантовых групп инварианты трёхмерных многообразий; ВиттенЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами. (1989) объяснил их через квантовую теорию ЧернаШиинг-Шен Чернкитайско-американский математик · 1911–2004Показал, что определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики; классы Черна связали геометрию с топологией и потом оказались языком физики калибровочных полей. — Саймонса. Топологическая квантовая теория поля.

4. Некоммутативная геометрия. Квантовые группы — образцовые примеры «пространств без точек» в программе Алена Кона. Рукопожатие с C*-алгебрами: компактные квантовые группы в смысле Воронóвича.

Человек

Владимир Гершонович Дринфельд (род. 1954, Харьков) — вундеркинд в буквальном смысле: победитель Международной математической олимпиады в 1969 году, в пятнадцать лет, с абсолютным результатом. Учился в МГУ у Юрия Манина.

Гипотезы ЛенглендсаРоберт Ленглендсамерикано-канадский математик · род. 1936Написал от руки семнадцать страниц с предположением о связи теории чисел и анализа — и с оговоркой, что если это чепуха, у адресата есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой… для $\mathrm{GL}(2)$ над функциональными полями он доказал к 1978 году, введя объекты, названные шутками (shtuka, от русского «штука») — этот термин теперь международный и пишется латиницей именно так.

С 1981 по 1999 год работал в Физико-техническом институте низких температур в Харькове; с 1999-го — в Чикагском университете.

Термин «квантовые группы» и программу он изложил в пленарном докладе на Международном конгрессе математиков в Беркли (1986). Филдсовская медаль — 1990, Киото (получал не он лично: выехать из СССР ему тогда не позволили; медаль вручили позже).

Стоит отметить и косвенное обстоятельство: работа велась в Харькове, в изоляции от западного сообщества, в институте, где Дринфельд формально числился по физической тематике.

Впадающая линия: алгебры Каца — Муди

Сюда же стоит отнести ещё один сюжет, без которого точка неполна.

В 1967–68 годах независимо друг от друга Виктор Кац (Москва) и Роберт Муди (Торонто) построили бесконечномерные обобщения алгебр Ли Киллинга.

Идея. Классификация КиллингаВильгельм Киллингнемецкий математик, преподаватель лицея · 1847–1923Классифицировал все простые алгебры Ли, работая учителем в провинциальном католическом лицее, — и обнаружил пять исключительных, включая E₈, которых никто не ожидал. — КартанаЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. опирается на то, что матрица Картана положительно определена. А если снять это условие? Получаются алгебры Ли бесконечной размерности, задаваемые той же системой образующих и соотношений (соотношения СерраЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все.).

Важнейший класс — аффинные алгебры Каца — Муди, отвечающие вырожденным (положительно полуопределённым) матрицам Картана. Они реализуются как «алгебры петель»:

$$\hat{\mathfrak{g}} = \mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}\left[t,t^{-1}\right]\oplus\mathbb{C}c\oplus\mathbb{C}d,$$

то есть отображения окружности в конечномерную алгебру Ли, плюс центральное расширение.

Почему это важно:

• Теория представлений таких алгебр не может обойтись без анализа: характеры оказываются модулярными формами (формула характеров Каца — ВейляГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения.; теорема Каца — Петерсона о модулярности). Здесь алгебраическая линия карты сходится с аналитической и с теорией чисел.
• Конформная теория поля строится на представлениях аффинных алгебр Каца — Муди (модели Весса — Зумино — Виттена).
• Алгебра Вирасоро (центральное расширение алгебры векторных полей на окружности) — того же круга объектов; она управляет всей двумерной конформной теорией.
• Алгебры Борчердса, использованные в доказательстве moonshine, — обобщение алгебр Каца — Муди.

Так что Киллинг, Moonshine и квантовые группы связаны напрямую: классификация Киллинга → обобщение Каца и Муди → алгебры Борчердса и квантовые деформации Дринфельда.

Следующая точка: Черноголовка — где алгебра Вирасоро оказалась физикой, проверяемой в лаборатории.