Вильгельм Киллинг

История Киллинга — про то, как главный результат целой области получается вне всякой научной среды. С 1882 по 1892 год он преподавал в лицее города Браунсберг в Восточной Пруссии, вёл шестнадцать-двадцать часов в неделю, был ректором, депутатом городского совета — и в свободное время сделал классификацию, которую сегодня учат все.

Берлин, Браунсберг, Мюнстер

Учился в Берлине у Вейерштрасса и Куммера; диссертация — о поверхностях второго порядка. Академической карьеры не искал: женился, нуждался в деньгах, десять лет проработал школьным учителем в Бранденбурге, потом получил место в католическом лицее Хозианума в Браунсберге.

Он был глубоко верующим католиком, вступил в третий орден францисканцев; после смерти двух сыновей на Первой мировой почти отошёл от математики.

Классификация

Задачу поставил Софус Ли: описать непрерывные группы преобразований. Киллинг подошёл иначе — через инфинитезимальный объект, то, что мы называем алгеброй Ли, и спросил, какие вообще бывают простые алгебры.

Ответ, полученный к 1888 году, — четыре бесконечных серии $A_n, B_n, C_n, D_n$ (это классические матричные алгебры) и пять исключительных: $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$. Список конечен, и в нём есть пять объектов, которые не следуют ни из какой общей конструкции — они просто существуют.

По дороге Киллинг ввёл почти весь нынешний аппарат: подалгебру Картана, корневую систему, характеристическое уравнение, форму, которую называют формой Киллинга. Названия достались Эли Картану, который в диссертации 1894 года переписал всё аккуратно и заполнил пробелы: у Киллинга изложение было тяжёлым, с ошибками в деталях, а сам он к тому же публиковался в малочитаемом журнале.

Ли отзывался о работе Киллинга пренебрежительно и на приоритет не соглашался. Историки в XX веке восстановили справедливость: Кокстер, Бурбаки и другие прямо называют классификацию киллинговой.

Куда это ушло

$E_8$ — 248-мерная алгебра, найденная школьным учителем ради чистой систематики, — оказалась в основаниях теорий калибровочных полей, теории струн, решётки Лича и «лунного сияния». Решётка $E_8$ в 2016 году дала решение задачи об упаковке шаров в размерности 8.

Классификация Киллинга — один из немногих полных списков в математике: не «мы знаем такие примеры», а «других не бывает».