Софус Ли: непрерывные симметрии

Замысел

Мариус Софус Ли (1842–1899) сформулировал программу так: сделать для дифференциальных уравнений то, что ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. сделал для алгебраических.

Аналогия по пунктам:

Галуа	Ли
алгебраическое уравнение	дифференциальное уравнение
перестановки корней	непрерывные преобразования, переводящие решения в решения
конечная группа Галуа	непрерывная группа преобразований
разрешимость в радикалах	интегрируемость в квадратурах
разрешимая группа	разрешимая алгебра Ли

Замысел выглядит фантастически амбициозным — и он сработал.

Пример, объясняющий всё

Возьмём уравнение

$$\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right)$$

— так называемое однородное уравнение, которое в школьном курсе решают заменой $u=y/x$ «потому что так учили».

Почему эта замена работает? Ли отвечает: потому что уравнение обладает симметрией. Растяжение

$$(x,y)\longmapsto(\lambda x,\lambda y)$$

переводит решения в решения (проверьте: и $dy/dx$, и $y/x$ не меняются). Это однопараметрическая группа симметрий.

И вот общий принцип Ли: если уравнение первого порядка допускает однопараметрическую группу симметрий, то существует замена переменных, в которых переменные разделяются, и уравнение решается в квадратурах. Причём замену можно вычислить по группе, а не угадать.

Все разрозненные приёмы из учебника дифференциальных уравнений — однородные, линейные, БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики., точные — оказываются частными случаями одной теории. Ли писал об этом с некоторым раздражением: методы интегрирования, придуманные за сто лет, все укладываются в его схему, и никто этого не замечал.

Аппарат

Однопараметрическая группа преобразований:

$$\bar x = f(x,y;\varepsilon), \qquad \bar y=g(x,y;\varepsilon),$$

с законом композиции $T_{\varepsilon_1}T_{\varepsilon_2}=T_{\varepsilon_1+\varepsilon_2}$ и $T_0=\mathrm{id}$.

Инфинитезимальный генератор. Продифференцируем по $\varepsilon$ в нуле:

$$\xi(x,y)=\left.\frac{\partial f}{\partial\varepsilon}\right|_{0}, \qquad \eta(x,y)=\left.\frac{\partial g}{\partial\varepsilon}\right|_{0},$$

и составим дифференциальный оператор

$$X = \xi\,\frac{\partial}{\partial x}+\eta\,\frac{\partial}{\partial y}.$$

Восстановление группы: $T_{\varepsilon}=\exp(\varepsilon X)$ — экспонента оператора.

Пример. Для растяжений $\bar x=e^{\varepsilon}x$, $\bar y=e^{\varepsilon}y$ имеем $\xi=x$, $\eta=y$, то есть

$$X = x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}.$$

Главная идея (первая теорема Ли). Работать с генератором $X$ — линейным объектом — вместо самой группы, объекта нелинейного. Композиция групп отвечает коммутатору генераторов:

$$[X_{1},X_{2}]=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1},$$

и генераторы образуют алгебру Ли. Так нелинейная задача сводится к линейной алгебре.

Это, по существу, та же идея, что производная в анализе: изучать сложный объект через его линейное приближение. Только приближается здесь не функция, а группа.

Основные теоремы

Три теоремы Ли устанавливают взаимно однозначное соответствие между локальными группами Ли и алгебрами Ли: всякая группа порождает алгебру; всякая алгебра восстанавливает группу (локально); гомоморфизмы соответствуют друг другу.

Теорема об интегрируемости. Уравнение $n$-го порядка, допускающее разрешимую группу симметрий размерности $n$, интегрируется в квадратурах.

Полный аналог теоремы Галуа: «разрешимая группа ⟹ разрешимое уравнение». Слово «разрешимая» — то же самое, что в точке о Галуа.

Три тома и город

«Theorie der Transformationsgruppen», три тома: 1888, 1890, 1893. Соавтор и фактический составитель — Фридрих Энгель, ученик, приставленный КлейномФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. к Ли специально для того, чтобы записывать его идеи в связном виде.

И вот важная поправка к географии. Замысел и первые работы (с 1873 года) — норвежские, из Христиании. Но Ли переехал в Лейпциг в 1886 году, заняв кафедру Клейна, ушедшего в Гёттинген, и все три тома написаны там, в сотрудничестве с Энгелем.

Так что корректная привязка — Христиания (1873–1886) и Лейпциг (1886–1898). В 1898-м, тяжело больной, Ли вернулся в Христианию и умер в 1899-м от пернициозной анемии, в 56 лет.

Драма отношений с Клейном

Сюжет, который стоит рассказать, потому что он человеческий и поучительный.

Ли и Клейн познакомились в Берлине в 1869 году и подружились накрепко. Вместе провели 1870 год в Париже, где оба испытали влияние ЖорданаКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. и его книги (см. следующую точку). Там же их застала франко-прусская война: Клейн, немец, уехал; Ли, норвежец, решил идти пешком в Италию — и был арестован под Фонтенбло по подозрению в шпионаже, поскольку в его бумагах нашли записи, показавшиеся французам зашифрованными (это были математические выкладки). Месяц в тюрьме; освобождён благодаря вмешательству Гастона Дарбу.

Дальше они делили предмет: Клейн взял дискретные группы и геометрию (Эрлангенская программа), Ли — непрерывные группы и дифференциальные уравнения.

Разрыв. В 1889 году Ли перенёс тяжёлый нервный срыв и провёл в клинике семь месяцев (диагноз того времени — неврастения; сегодня предполагают биполярное расстройство или последствия анемии). После этого его характер изменился: он стал подозрителен и обидчив.

В 1893 году в предисловии к третьему тому Ли публично заявил, что он не ученик Клейна и не обязан ему ничем, и что скорее верно обратное. Заявление было несправедливым и болезненным для обоих; Клейн ответил сдержанно. Примирение состоялось незадолго до смерти Ли.

Что выросло

• Группы Ли и алгебры Ли — один из центральных объектов математики XX века. Классификация простых алгебр Ли — точка о Киллинге; без программы Ли она не имела бы смысла.
• Дифференциальная геометрия: связности, расслоения, голономия.
• Физика. Здесь влияние решающее. Теорема Нётер формулируется на языке групп Ли: непрерывная симметрия ⟹ закон сохранения. Калибровочные теории — теории со структурной группой Ли: электромагнетизм ($\mathrm{U}(1)$), слабое взаимодействие ($\mathrm{SU}(2)$), сильное ($\mathrm{SU}(3)$).
• Дифференциальная теория Галуа (Пикар, Вессио, Колчин) — прямое завершение замысла Ли: критерий разрешимости линейного дифференциального уравнения в квадратурах через его группу Галуа.
• Симметрийный анализ уравнений математической физики (Овсянников, Ибрагимов) — вычислительная реализация программы Ли; сегодня существуют пакеты, автоматически находящие группу симметрий заданного уравнения.

Соседние точки: Галуа → Жордан (1870) → Клейн (1872) → Ли → Киллинг (1888).