Киллинг: E₈ из провинциального лицея

Предыстория: программа Софуса Ли

Идея ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью.: сопоставить уравнению конечную группу его симметрий (Галуа).

Идея СофусаСофус Линорвежский математик · 1842–1899Перенёс мысль Галуа с уравнений алгебраических на дифференциальные — и получил объект, без которого не существует ни современной геометрии, ни физики элементарных частиц. Ли (Христиания, с 1873 года): сделать то же самое для дифференциальных уравнений, сопоставив им группу непрерывных симметрий. Например, уравнение, не меняющееся при сдвигах по времени, имеет однопараметрическую группу симметрий; отсюда сохранение энергии.

Проблема: непрерывные группы бесконечны, и работать с ними напрямую тяжело. Гениальный ход Ли — линеаризовать: рассматривать не саму группу, а её «бесконечно малые преобразования», то есть касательное пространство в единице. Это алгебра Ли.

Определение. Алгебра Ли — векторное пространство $\mathfrak{g}$ с билинейной операцией $[\,\cdot\,,\cdot\,]$ (скобка), удовлетворяющей:

1. $[x,x]=0$ (антисимметричность);
2. $\left[x,[y,z]\right]+\left[y,[z,x]\right]+\left[z,[x,y]\right]=0$ — тождество ЯкобиКарл Густав Якобинемецкий математик · 1804–1851Соперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар..

Примеры:

• $\mathbb{R}^{3}$ с векторным произведением $[a,b]=a\times b$;
• матрицы с коммутатором $[A,B]=AB-BA$ (тождество Якоби проверяется раскрытием скобок);
• $\mathfrak{sl}_2$ — бесследовые матрицы $2\times2$; базис $e,f,h$ с соотношениями $[h,e]=2e$, $[h,f]=-2f$, $[e,f]=h$.

Скобка измеряет некоммутативность исходной группы: если группа абелева, скобка нулевая.

Задача

Ли поставил задачу классификации: перечислить все простые алгебры Ли. «Простая» — значит без нетривиальных идеалов, то есть не разлагающаяся на более мелкие. Как простые числа для чисел или простые группы для групп.

Ли считал задачу неподъёмной и занялся другим.

Человек

Вильгельм Киллинг (1847–1923) окончил Берлинский университет, защитил диссертацию у ВейерштрассаКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. (1872) и получил хорошую подготовку. Но академической карьеры не сложилось: с 1882 по 1892 год он преподавал математику в Лицее Госсианум в Браунсберге (ныне Бранево, Польша) — католическом учебном заведении с богословским уклоном, готовившем священников.

Уточнение к исходной формулировке: это была не «захолустная гимназия» в буквальном смысле, а лицей с правами высшей школы, но математической среды там не было никакой. Киллинг вёл огромную преподавательскую нагрузку, был ректором, состоял в городском совете и растил шестерых детей. Ближайшая математическая библиотека — в сотнях километров.

И в этих условиях он решил задачу Ли.

Переписывался он в основном с Феликсом КлейномФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. и Фридрихом Энгелем (сотрудником Ли), причём Энгель добросовестно снабжал его литературой и служил единственным связным с внешним миром.

Инструменты, которые пришлось изобрести

Киллинг создал почти весь аппарат современной теории — терминология до сих пор его:

1. Подалгебра КартанаЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. $\mathfrak{h}$ — максимальная коммутативная подалгебра, действующая диагонализуемо. (Названа в честь Картана, но введена Киллингом.) Её размерность — ранг алгебры.

2. Корни. Разложим $\mathfrak{g}$ на собственные подпространства действия $\mathfrak{h}$:

$$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi}\mathfrak{g}_{\alpha}, \qquad [h,x]=\alpha(h)\,x \ \text{ для } x\in\mathfrak{g}_{\alpha}.$$

Линейные функции $\alpha$ называются корнями; их множество $\Phi$ — система корней.

3. Форма Киллинга — билинейная форма

$$B(x,y)=\operatorname{tr}\left(\mathrm{ad}_{x}\,\mathrm{ad}_{y}\right), \qquad \mathrm{ad}_{x}(z)=[x,z].$$

Критерий Картана (использованный уже Киллингом): алгебра полупроста тогда и только тогда, когда $B$ невырождена.

4. «Характеристическое уравнение» — то, что мы называем матрицей Картана: целые числа

$$a_{ij}=\frac{2\left(\alpha_{i},\alpha_{j}\right)}{\left(\alpha_{j},\alpha_{j}\right)}.$$

Ключевое чудо

Вот что делает всю историю красивой. Оказывается, система корней подчинена жесточайшим ограничениям:

• корни живут в евклидовом пространстве и симметричны относительно нуля;
• угол между двумя корнями может быть только $30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°$;
• отношение квадратов длин корней может быть только $1$, $2$ или $3$.

Никакой свободы. Из-за этого число возможных систем корней конечно, и их можно перечислить.

Причина ограничений — целочисленность $a_{ij}$. Из неё следует, что $a_{ij}a_{ji}=4\cos^{2}\theta$ — целое число от 0 до 3, откуда $\cos^{2}\theta\in\left\{0,\frac14,\frac12,\frac34\right\}$, что и даёт список углов.

Результат: четыре серии и пять исключений

Четыре бесконечные серии (классические алгебры):

Серия	Алгебра	Группа	Размерность
$A_{n}$	$\mathfrak{sl}_{n+1}$	$\mathrm{SU}(n+1)$	$n(n+2)$
$B_{n}$	$\mathfrak{so}_{2n+1}$	$\mathrm{SO}(2n+1)$	$n(2n+1)$
$C_{n}$	$\mathfrak{sp}_{2n}$	$\mathrm{Sp}(n)$	$n(2n+1)$
$D_{n}$	$\mathfrak{so}_{2n}$	$\mathrm{SO}(2n)$	$n(2n-1)$

И пять исключительных, не входящих ни в какую серию:

Алгебра	Ранг	Размерность
$G_{2}$	2	14
$F_{4}$	4	52
$E_{6}$	6	78
$E_{7}$	7	133
$E_{8}$	8	248

Это одна из самых поразительных теорем математики. Ожидалось бесконечное разнообразие; оказалось — четыре понятные серии и ровно пять исключений. Не четыре, не шесть, не бесконечно много. Пять.

Исключительные алгебры не были ниоткуда известны и никому не нужны — Киллинг обнаружил их, просто перебрав все допустимые системы корней и увидев, что помимо ожидаемых остаются ещё пять возможностей. Ощущение, надо думать, было сильное.

Пробелы и Картан

Работа Киллинга («Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen», четыре части, Mathematische Annalen, 1888–1890) написана трудно, содержит вычислительные ошибки и логические пробелы. В частности, он поначалу насчитал две алгебры ранга 4 типа $F$, оказавшиеся изоморфными; строгость доказательств оставляла желать.

Эли Картан в парижской диссертации 1894 года («Sur la structure des groupes de transformations finis et continus») переделал всё заново: устранил пробелы, дал строгие доказательства, построил все исключительные алгебры явно и вычислил их представления.

Слава досталась Картану, и отчасти заслуженно — его изложение было настолько лучше, что читали именно его. Киллинг же остался в тени; сам он был человеком скромным и, по-видимому, не переживал.

Историческая переоценка пришла в XX веке. Резкую формулировку дал Артур Кэлмен Коулмен в статье «The greatest mathematical paper of all time» (1989), где он прямо назвал работу Киллинга 1888 года величайшей математической статьёй в истории — оценка полемическая, но показывающая масштаб перемены во взглядах.

За Киллингом закрепились: форма Киллинга, векторные поля Киллинга (в общей теории относительности — генераторы симметрий пространства-времени), уравнение Киллинга.

Диаграммы Дынкина

Финальное упрощение — Евгений Дынкин (Москва, 1946) и независимо Кокстер: система корней кодируется маленьким графом. Вершины — простые корни; между двумя вершинами проводится $a_{ij}a_{ji}$ рёбер (0, 1, 2 или 3), со стрелкой от длинного корня к короткому.

$$ \begin{array}{ll} A_{n}: & \circ-\circ-\circ-\cdots-\circ \\ E_{8}: & \circ-\circ-\circ-\circ-\circ-\circ-\circ \ \text{ с одной вершиной, подвешенной к третьей с конца} \end{array} $$

Вся классификация умещается в десяток картинок, которые студент запоминает за вечер. Диаграммы Дынкина возникают потом повсюду: в теории особенностей (АрнольдВладимир Игоревич Арнольдсоветский и российский математик · 1937–2010Девятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих…), в теории представлений колчанов (Габриэль), в классификации поверхностей, в теории струн.

Исключительные симметрии в физике

• $G_{2}$ — группа автоморфизмов октонионов (кватернионы и октонионы!). Ещё одна связь: две «странности» алгебры оказались одним объектом. В теории струн — группа голономии семимерных многообразий, на которых компактифицируется M-теория.
• $E_{6}$, $E_{8}\times E_{8}$ — калибровочные группы в теориях великого объединения и в гетеротической теории струн.
• $E_{8}$ — решётка $E_8$ в восьмимерном пространстве даёт плотнейшую упаковку шаров в размерности 8 (доказано Мариной Вязовской в 2016 году — работа, принёсшая ей Филдсовскую медаль 2022 года).
• В 2010 году в эксперименте с квазиодномерным ферромагнетиком $\mathrm{CoNb_2O_6}$ было обнаружено отношение масс возбуждений, близкое к золотому сечению, — предсказание, следующее из $E_8$-симметрии критической точки модели Изинга. Заголовки о «$E_8$ в лаборатории» были громкими; речь идёт о совпадении двух первых масс, и интерпретация обсуждается, но связь реальна.

Структуры, найденные школьным учителем в прусском захолустье как побочный продукт классификации, через сто лет оказались в списке кандидатов на описание фундаментальных взаимодействий.

Следующая точка: Петербург — где тем же приёмом пересчитают дискретные симметрии и обнаружат, что их конечное число.