Клейн: Эрлангенская программа

Обстановка: кризис геометрии

К 1870-м годам геометрий стало неприлично много, и было непонятно, что их объединяет.

Геометрия	Чем занимается
Евклидова	длины, углы, площади
Аффинная	параллельность, отношения отрезков на прямой; длин нет
Проективная	инцидентность, двойное отношение; параллельности нет
Гиперболическая (ЛобачевскийНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица., БойяиЯнош Бойяивенгерский математик · 1802–1860«Из ничего я создал новый, иной мир» — так он написал отцу о неевклидовой геометрии. Гаусс ответил, что думал то же самое сорок лет; Бойяи счёл это кражей и больше почти ничего не напечатал.)	через точку — много параллельных
Эллиптическая (РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.)	параллельных нет вовсе
Инверсивная	окружности и прямые равноправны

Каждая жила своей жизнью, со своими аксиомами и своими специалистами. Вопрос «что такое геометрия вообще» ответа не имел.

Работа

Феликс Клейн, «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» — «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», Эрланген, 1872.

Клейну двадцать три года; он только что получил профессуру в Эрлангене — необычайно рано даже по меркам эпохи. Текст был напечатан как программная брошюра при вступлении в должность.

Оговорка, которую стоит сделать. Часто пишут, что это была вступительная лекция. На деле Клейн прочитал при вступлении другую речь, посвящённую вопросам математического образования; «Сравнительное обозрение» было издано отдельно как письменная программа. Различие мелкое, но кочующая ошибка того же рода, что и «Вавилон с уравнением аль-Хорезмиаль-Хорезмиперсидский математик, астроном и географ, работавший в Багдаде · около 780 — около 850От названия его книги произошло слово «алгебра», от его имени — слово «алгоритм»; больше о нём почти ничего не известно.».

Идея

Геометрия — это изучение свойств фигур, инвариантных относительно заданной группы преобразований.

Задать геометрию = задать пространство и группу его преобразований. Всё, что не меняется при действии группы, — предмет данной геометрии; всё остальное к ней не относится.

Геометрия	Группа	Что сохраняется
Евклидова	движения (изометрии)	расстояния, углы
Подобия	подобия	углы, отношения длин
Аффинная	$\mathrm{GL}(n)\ltimes$ сдвиги	параллельность, отношения на прямой
Проективная	$\mathrm{PGL}(n+1)$	инцидентность, двойное отношение
Гиперболическая	$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$	гиперболическое расстояние
Топология	гомеоморфизмы	связность, компактность

Ключевое следствие: геометрии выстраиваются в иерархию. Чем больше группа, тем меньше инвариантов и тем беднее (общее) геометрия. Проективная группа больше аффинной, аффинная — больше группы движений; значит,

$$\text{проективная} \subset \text{аффинная} \subset \text{евклидова}$$

в смысле «меньше утверждений, но они сильнее» — проективная теорема верна во всех геометриях ниже.

Отсюда знаменитая формулировка КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы. (которого Клейн прямо цитирует): проективная геометрия есть вся геометрия.

Пример: двойное отношение

Чтобы почувствовать метод, полезен конкретный инвариант.

Для четырёх точек $A,B,C,D$ на прямой двойное отношение

$$(A,B;C,D) = \frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}$$

не меняется ни при каком проективном преобразовании — в частности, при центральном проектировании одной прямой на другую.

Проверка идеи. Длина при проектировании не сохраняется; отношение длин $AC/CB$ — тоже нет; а вот отношение отношений — сохраняется. Это и есть содержание проективной геометрии: она изучает ровно то, что переживает проектирование.

Двойное отношение объясняет, почему на фотографии железнодорожного полотна шпалы сгущаются к горизонту предсказуемым образом, — и почему по фотографии можно восстановить настоящие пропорции объекта. Компьютерное зрение построено на проективной геометрии.

Модель Клейна и неевклидова геометрия

Программа немедленно дала практический результат, который стоит того, чтобы его знать.

Геометрия Лобачевского до 1868 года оставалась подозрительной: непротиворечива ли она? БельтрамиЭудженио Бельтрамиитальянский математик · 1835–1900Построил модель, в которой геометрия Лобачевского живёт внутри евклидовой, — и этим закрыл спор длиной в две тысячи лет: если неевклидова геометрия противоречива, то противоречива и обычная. (1868) построил первую модель; Клейн (1871, ещё до Эрлангенской программы) построил свою, ставшую канонической.

Модель Клейна. Возьмём внутренность круга. «Точки» — точки внутри круга. «Прямые» — хорды (без концов). Расстояние определяется через двойное отношение:

$$d(P,Q)=\frac{1}{2}\left|\ln (P,Q;A,B)\right|,$$

где $A,B$ — точки пересечения хорды $PQ$ с граничной окружностью.

Проверьте: через точку, не лежащую на данной хорде, проходит бесконечно много хорд, её не пересекающих. Пятый постулат не выполняется, все остальные выполняются.

Вывод. Геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива евклидова, — потому что модель построена внутри евклидовой плоскости. Двухтысячелетний вопрос о независимости пятого постулата закрыт.

А с точки зрения Эрлангенской программы это просто выбор подгруппы: гиперболическая геометрия — это проективная геометрия круга с группой проективных преобразований, сохраняющих граничную окружность.

Влияние

На математику. Эрлангенская программа определила стиль на полвека: искать группу, изучать инварианты. Отсюда:

• теория инвариантов получила геометрический смысл;
• программа Ли (следующая точка) — непосредственный отклик: Клейн и Ли были близкими друзьями, вместе учились в Берлине в 1869–70 годах и договорились разделить предмет — Клейн взял дискретные группы, Ли непрерывные;
• дифференциальная геометрия Картана (расслоения со структурной группой) — прямое развитие;
• физика XX века: калибровочные теории суть теории с заданной группой локальных симметрий; общая теория относительности — геометрия с группой диффеоморфизмов.

Ограничения. Программа не универсальна: риманова геометрия в неё не укладывается, поскольку у произвольного риманова многообразия группа изометрий может быть тривиальной. КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. позже расширил схему («обобщённые пространства»), но полного охвата нет. Это стоит проговаривать: изящные программы редко покрывают всё.

Клейн-организатор

Помимо математики Клейн (1849–1925) был крупнейшим научным администратором своего времени. Приехав в Гёттинген в 1886 году, он за двадцать лет превратил его в математическую столицу мира: пригласил ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. (1895), Минковского, создал институты, наладил связь с промышленностью, основал энциклопедию математических наук.

Ему же принадлежит бутылка Клейна (1882) и — важно для нашей линии — программа «Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus» («Элементарная математика с точки зрения высшей», 1908), одна из основополагающих книг математического образования.

Соседние точки: Галуа → Жордан (1870) → Клейн → Ли → Киллинг.