Сильвестр и Кэли: инварианты и слово «матрица»

Двое

Артур Кэли (1821–1895) в эти годы — адвокат в Линкольнс-Инн (см. точку о Кэли).

Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897) — фигура ещё более необычная. Еврей, он не мог получить степень в Кембридже (требовалась присяга по англиканскому обряду), хотя окончил его вторым в списке. Работал актуарием в страховой компании, изучал право, короткое время преподавал в Виргинском университете в США (уехал после конфликта со студентом), был профессором в Королевской военной академии в Вулидже.

Только в 1876 году, в 62 года, он получил настоящую профессуру — в новооткрытом университете ДжонсаВон Джонсновозеландский математик · 1952–2020Занимался операторными алгебрами, заметил, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и нашёл инвариант узлов, которого топологи не могли найти сто лет. Хопкинса в Балтиморе, где основал первую в США математическую школу и «American Journal of Mathematics» (1878). В 1883-м, в 69 лет, вернулся в Англию савилианским профессором в Оксфорд.

Двое познакомились в 1846 году, когда оба изучали право, и подружились на всю жизнь. Сильвестр называл Кэли своим математическим alter ego.

Теория инвариантов

Предмет описан в точке о Гильберте: инвариант — многочлен от коэффициентов формы, не меняющийся (с точностью до степени определителя) при линейной замене переменных.

Простейший пример. Для $f=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ дискриминант

$$D=ac-b^{2}$$

при замене с матрицей $M$ умножается на $(\det M)^{2}$.

Проверка идеи. Дискриминант равен $-\det\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$, а матрица формы при замене преобразуется как $A\mapsto M^{\top}AM$, откуда $\det A\mapsto(\det M)^{2}\det A$. $\checkmark$

Смысл: $D=0$ означает вырожденность формы — свойство геометрическое, от координат не зависящее.

Кубическая форма $ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}$ имеет дискриминант

$$\Delta = a^{2}d^{2}-6abcd+4ac^{3}+4b^{3}d-3b^{2}c^{2},$$

и он тоже инвариант. Дальше степени растут, инвариантов становится много, и возникает главный вопрос: есть ли конечный базис?

Кэли и Сильвестр в 1850-х вычислили инварианты для форм малых степеней; ГорданПауль Горданнемецкий математик · 1837–1912«Король инвариантов», двадцать лет считавший базисы вручную, — и автор возгласа «Это не математика, это теология», которым он встретил доказательство Гильберта, обошедшееся без вычислений. (1868) доказал конечную порождённость для бинарных форм любой степени; Гильберт (1888) — в полной общности и неконструктивно.

Терминология

Вот где вклад этой пары особенно ощутим: они придумали значительную часть словаря современной алгебры.

Сильвестр ввёл:

• матрица (1850) — от латинского matrix, «матка, источник»: таблица, из которой «порождаются» определители миноров. Заметим, что сам термин появился раньше, чем алгебра матриц (Кэли, 1858).
• инвариант, ковариант, дискриминант, якобиан, гессиан;
• минор;
• закон инерции квадратичных форм (1852): число положительных и отрицательных квадратов в каноническом виде не зависит от способа приведения. Это первая теорема об инвариантности в линейной алгебре и, по существу, доказательство того, что сигнатура — корректное понятие;
• тотиент (функция ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя.), граф (в смысле теории графов, 1878).

Кэли ввёл или закрепил: матричное умножение, теорему Кэли — ГамильтонаУильям Роуэн Гамильтонирландский математик, физик и астроном · 1805–1865Пятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности., абстрактное определение группы, понятие $n$-мерного пространства в англоязычной традиции.

Сильвестр вообще был словотворцем: он сочинял термины десятками, увлекался поэзией (издал книгу «Законы стиха») и на лекциях декламировал стихи. Далеко не все его термины прижились, но прижившихся неожиданно много.

Почему это стоит отдельной точки

Во-первых, объяснение точки о теореме о базисе. Возглас Гордана про теологию непонятен, если не знать, чем занималась теория инвариантов до ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.: это была вычислительная дисциплина, где люди годами руками строили конкретные инварианты. Кэли и Сильвестр — образцовые её представители.

Во-вторых, английская математика возвращается. После столетия отставания, вызванного спором о приоритете, британцы снова в центре: Гамильтон, БульДжордж Бульанглийский математик и логик · 1815–1864Сын сапожника, не проучившийся в университете ни дня, превратил логику в алгебру — и через девяносто лет выяснилось, что это в точности алгебра электрических переключателей., Кэли, Сильвестр, Клиффорд. Теория инвариантов была первой областью, где английская школа лидировала.

В-третьих, сюжет о том, где делается наука. Кэли — адвокат, Сильвестр — актуарий и преподаватель военной академии. Оба вне университетов, оба десятилетиями. К этому же ряду принадлежат Грассман (гимназический учитель), Киллинг (преподаватель лицея), Буль (до 1849 года содержатель частной школы). Значительная часть алгебры XIX века сделана людьми без академических должностей — обстоятельство, о котором стоит сказать вслух.

Соседние точки: Кэли (1854) → Сильвестр и Кэли → Гильберт (1888).