Карта → событие
Кэли: группа как таблица умножения
Уточнение
Слаг говорит «Кембридж», но в 1854 году Кэли не был в Кембридже: он покинул Тринити-колледж в 1846 году, поскольку для сохранения стипендии требовалось принять духовный сан, и работал адвокатом в Лондоне (Линкольнс-Инн) с 1849 по 1863 год. Профессуру в Кембридже (кафедра Садлера) он получил лишь в 1863-м. Работы 1854 и 1858 годов — лондонские.
Определение
Артур Кэли, «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation $\theta^{n}=1$», Philosophical Magazine, 1854.
До Кэли «группа» означала группу подстановок: у ГалуаЭварист ГалуаЗа двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью., КошиОгюстен Луи КошиПервым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., ЖорданаКамиль ЖорданНаписал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. это всегда множество перестановок каких-то объектов, замкнутое относительно композиции. Понятие было привязано к своему представлению.
Кэли делает шаг абстракции:
Пусть дано множество символов $1,\alpha,\beta,\ldots$, для которых определено произведение любых двух, дающее символ из того же множества. Пусть произведение ассоциативно. Тогда такое множество называется группой.
И добавляет решающее: группа полностью задаётся своей таблицей умножения (сегодня — таблица Кэли), а природа элементов безразлична.
Современные аксиомы: множество $G$ с бинарной операцией, для которой
- $(ab)c=a(bc)$ — ассоциативность;
- существует $e$ с $ea=ae=a$ — нейтральный элемент;
- для каждого $a$ существует $a^{-1}$ с $aa^{-1}=a^{-1}a=e$.
Пример таблицы — группа $\mathbb{Z}/3$:
| $\cdot$ | $e$ | $a$ | $a^{2}$ |
|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $a$ | $a^{2}$ |
| $a$ | $a$ | $a^{2}$ | $e$ |
| $a^{2}$ | $a^{2}$ | $e$ | $a$ |
Заметим свойство, которое Кэли отмечает явно: в каждой строке и каждом столбце каждый элемент встречается ровно один раз (это латинский квадрат). Причина: уравнение $ax=b$ имеет единственное решение $x=a^{-1}b$.
Теорема Кэли
Возникает вопрос: не потеряли ли мы что-нибудь, отказавшись от подстановок? Кэли отвечает — нет.
Теорема. Всякая группа $G$ изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок множества $G$.
Доказательство укладывается в три строки и красиво. Каждому $g\in G$ сопоставим отображение $L_{g}: G\to G$, $L_g(x)=gx$ (сдвиг влево). Оно биективно (обратное — $L_{g^{-1}}$), значит является перестановкой множества $G$. И $L_{g}\circ L_{h} = L_{gh}$, то есть сопоставление $g\mapsto L_g$ сохраняет операцию. Если $L_g$ тождественно, то $g\cdot e=e$, значит $g=e$ — вложение инъективно. $\blacksquare$
Для конечной группы порядка $n$ это даёт вложение в $S_n$. Строки таблицы Кэли — это и есть перестановки $L_g$.
Смысл теоремы двойственный. С одной стороны, абстрактное определение ничего нового не даёт — все группы «на самом деле» суть группы подстановок. С другой — абстрактная точка зрения оказалась несравненно плодотворнее: она позволяет строить группы, не заботясь о том, что они переставляют, изучать их гомоморфизмы, факторгруппы, произведения. Это первый пример типичного для XX века хода: сохранить содержание, сменив язык, и выиграть в возможностях.
Кэли, к слову, опередил время: его статью 1854 года почти не заметили, и абстрактное определение группы пришлось переоткрывать в 1870-х (КронекерЛеопольд Кронекер«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни…, Вебер, Дик). Общепринятым оно стало только к 1890-м.
Матрицы
«A Memoir on the Theory of Matrices», Philosophical Transactions, 1858.
Слово «матрица» ввёл в 1850 году Джеймс Джозеф Сильвестр — ближайший друг и постоянный соавтор Кэли (латинское matrix — «матка, источник»: у Сильвестра это была таблица, из которой «порождаются» определители миноров). Но именно Кэли сделал матрицу самостоятельным алгебраическим объектом, а не сокращённой записью системы уравнений.
Он определяет сложение, умножение на число и, главное, умножение матриц — по правилу «строка на столбец», продиктованному композицией линейных отображений. И отмечает то, что для 1858 года было почти шокирующим:
$$AB \ne BA.$$
Через пятнадцать лет после кватернионов некоммутативность перестала быть экзотикой: у матриц она возникает сама собой. Более того, у матриц бывают делители нуля:
$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},$$
чего нет ни у чисел, ни у кватернионов. Матрицы образуют кольцо, но не тело.
Теорема Кэли — ГамильтонаУильям Роуэн ГамильтонПятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности.
Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению:
$$\chi_{A}(A)=0, \qquad \chi_{A}(\lambda)=\det(\lambda I - A).$$
Проверка для $2\times2$, доступная любому школьнику. Пусть $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Тогда
$$\chi_{A}(\lambda)=\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc).$$
Считаем $A^{2}$:
$$A^{2}=\begin{pmatrix}a^{2}+bc & ab+bd\\ ca+dc & cb+d^{2}\end{pmatrix}.$$
Вычитаем $(a+d)A$ и прибавляем $(ad-bc)I$:
- элемент (1,1): $a^{2}+bc-(a+d)a+(ad-bc) = a^2+bc-a^2-ad+ad-bc=0$; $\checkmark$
- элемент (1,2): $ab+bd-(a+d)b = ab+bd-ab-db=0$; $\checkmark$
и аналогично остальные. $\blacksquare$
Кэли проверил теорему для случаев $2\times2$ и $3\times3$ и заметил, что «не считает нужным проводить трудоёмкую проверку в общем случае» — то есть, по сути, теорему не доказал. Гамильтон ранее получил её для кватернионов (случай $4\times4$ в вещественном представлении). Общее доказательство дал ФробениусФердинанд ФробениусЗа несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой. в 1878 году.
Замечание о частой ошибке. «Доказательство» подстановкой $\lambda=A$ прямо в $\det(\lambda I - A)$ неверно: слева при этом стоит $\det(A-A)=\det 0 = 0$ — число, а справа должна получиться нулевая матрица. Смешивание скалярных и матричных выражений здесь недопустимо, и корректное доказательство требует работы (например, через присоединённую матрицу или через плотность диагонализуемых матриц).
Кэли-адвокат
Пикантная деталь, которую стоит сохранить. Четырнадцать лет (1849–1863) Кэли работал адвокатом, специализируясь на передаче недвижимости, и математикой занимался в свободное время. За эти годы он написал около трёхсот статей — больше, чем большинство профессоров за всю карьеру.
Известно, что он сознательно ограничивал юридическую практику, чтобы оставалось время на математику, и зарабатывал заметно меньше, чем мог бы. Его друг Сильвестр, тоже некоторое время работавший вне университета (актуарием в страховой компании), составлял ему компанию: два человека, между делом создавшие теорию инвариантов.
Всего за жизнь Кэли опубликовал около 900 работ — третий результат в истории после ЭйлераЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. и Коши.
Итог перелома 1843–1854
Одиннадцать лет, изменивших предмет:
| Год | Кто | Что отброшено или добавлено |
|---|---|---|
| 1843 | Гамильтон | коммутативность умножения |
| 1844 | ГрассманГерман ГрассманПостроил линейную и внешнюю алгебру за полвека до того, как они понадобились, — и, отчаявшись быть прочитанным, ушёл в санскрит, где и прославился. | ограничение тремя измерениями; $a\wedge a=0$ |
| 1847–54 | БульДжордж БульСын сапожника, не проучившийся в университете ни дня, превратил логику в алгебру — и через девяносто лет выяснилось, что это в точности алгебра электрических переключателей. | числовая природа объектов; $x^{2}=x$ |
| 1854 | Кэли | конкретная природа элементов группы |
Алгебра отныне изучает не числа, а множества с операциями — какими бы они ни были. Осталось понять, что и сами операции можно выбирать аксиомами; это сделает Гёттинген через семьдесят лет (Эмми Нётер).
Следующая точка: Брауншвейг — множество становится объектом.