Эудженио Бельтрами

Лобачевский и Бойяи построили геометрию, в которой пятый постулат неверен. Оставался вопрос, от которого зависело всё: а не приведёт ли она рано или поздно к противоречию? Пока ответа не было, новую геометрию можно было считать длинным и красивым доказательством от противного, у которого просто не хватило терпения.

Модель

Бельтрами в 1868 году ответил — и ответил так, что вопрос закрылся навсегда.

Он заметил, что на псевдосфере — поверхности постоянной отрицательной кривизны, получаемой вращением трактрисы, — геометрия кратчайших линий локально в точности та, какую описал Лобачевский. Сумма углов треугольника меньше двух прямых, через точку проходит много «параллельных», формула угла параллельности та самая.

Дальше он построил и полную модель: круг, внутри которого расстояние измеряется особым образом (так, что край бесконечно далёк), а «прямыми» служат хорды. Все аксиомы Лобачевского выполняются.

Отсюда следует решающее. Модель построена внутри обычной евклидовой геометрии, из евклидовых объектов. Значит, всякое противоречие в геометрии Лобачевского немедленно даёт противоречие в евклидовой. Две тысячи лет пятый постулат пытались доказать; выяснилось, что он ровно настолько же надёжен, насколько всё остальное.

Ход этот — относительная непротиворечивость через модель — стал потом основным приёмом всей математической логики: так Гильберт строил основания геометрии, так Гёдель и Коэн решали вопрос о континуум-гипотезе.

Ни Лобачевский (умер в 1856-м), ни Бойяи (1860), ни Гаусс (1855) до этого не дожили.

Болонья

Родился в 1835 году в Кремоне, в семье художника. Учился в Павии, где слушал Франческо Бриоски, но курса не окончил — денег не хватило, и несколько лет он служил секретарём на железной дороге в Вероне.

К математике вернулся в двадцать семь: с 1862 года преподавал в Болонье, потом в Пизе (где сдружился с Риманом, приехавшим туда лечиться), потом в Риме и Павии. Работу о непротиворечивости он написал болонским профессором рациональной механики — в Павию он переехал только в 1876 году, отчего эту работу иногда ошибочно приписывают Павии.

Что ещё

Ему принадлежит оператор Лапласа — Бельтрами — обобщение лапласиана на произвольное риманово многообразие, без которого не обходится ни спектральная геометрия, ни физика на искривлённом пространстве. Отсюда же дифференциальные параметры Бельтрами и работы по теории упругости, электромагнетизму и оптике.

Он же одним из первых оценил и стал пропагандировать работы Римана о многомерной геометрии, лежавшие тогда почти без читателей.

Последние годы был сенатором Итальянского королевства и президентом Национальной академии деи Линчеи. Умер в Риме в 1900 году.