Восемь страниц о нулях дзета-функции

Записка

Избранный в 1859 году членом-корреспондентом Берлинской академии, РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. по обычаю представил работу. Она называлась «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse» — «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», занимала восемь страниц и оказалась единственным, что он написал о числах за всю жизнь.

По плотности мысли на страницу с ней мало что сравнится. В ней содержатся: аналитическое продолжение дзета-функции на всю комплексную плоскость, её функциональное уравнение, точная формула, выражающая количество простых через нули, оценка числа этих нулей, — и знаменитая гипотеза, брошенная одной фразой.

Дзета-функция

Начинаем с эйлерова произведения, но, в отличие от ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., считаем $s$ комплексным:

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{s}}=\prod_{p}\frac1{1-p^{-s}},\qquad \mathrm{Re}\,s>1 .$$

Риман продолжает $\zeta$ на всю плоскость: получается функция, аналитическая всюду, кроме простого полюса в точке $s=1$ (полюс — это ровно расходимость гармонического ряда). И доказывает функциональное уравнение: если положить

$$\xi(s)=\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),$$

то

$$\boxed{\;\xi(s)=\xi(1-s)\;}$$

Функция симметрична относительно прямой $\mathrm{Re}\,s=\tfrac12$. Эта прямая появляется не как гипотеза, а как ось симметрии — и потому естественно ожидать, что интересные объекты лежат именно на ней.

Нули. Из функционального уравнения и вида гамма-функции следует, что $\zeta$ обращается в нуль в точках $s=-2,-4,-6,\dots$ — их называют тривиальными. Все остальные нули лежат в полосе $0\leqslant\mathrm{Re}\,s\leqslant1$ (критическая полоса), потому что при $\mathrm{Re}\,s>1$ произведение по простым не равно нулю, а левая часть полосы получается симметрией.

Гипотеза Римана. Все нетривиальные нули $\zeta(s)$ лежат на прямой $\mathrm{Re}\,s=\tfrac12$.

Сам он формулирует её так: «весьма вероятно, что все корни вещественны» (в его нормировке) — и тут же добавляет, что после нескольких безуспешных попыток отложил это в сторону, «поскольку для ближайшей цели моего исследования оно представляется несущественным».

Формула, связывающая простые с нулями

Вот главное содержание записки — и одна из самых поразительных формул математики. В удобной современной записи, через функцию ЧебышёваПафнутий Львович Чебышёврусский математик и механик · 1821–1894Основал петербургскую математическую школу, дал первые строгие оценки в законе распределения простых чисел и построил около сорока механизмов, включая шагающую машину. $\psi(x)=\sum_{p^{k}\leqslant x}\ln p$:

$$\boxed{\;\psi(x)=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-\ln 2\pi-\tfrac12\ln\!\left(1-x^{-2}\right)\;}$$

где сумма берётся по всем нетривиальным нулям $\rho$.

Разберём, что тут написано.

Слева — чисто арифметическая величина: сколько простых и их степеней не превосходит $x$, с логарифмическими весами. Функция ступенчатая, скачет в каждом простом.

Справа — гладкий главный член $x$ плюс поправки, по одной на каждый нуль. Если $\rho=\beta+i\gamma$, то

$$\frac{x^{\rho}}{\rho}=\frac{x^{\beta}}{\rho}\,e^{i\gamma\ln x},$$

то есть каждый нуль даёт колебание: амплитуда растёт как $x^{\beta}$, частота задаётся мнимой частью $\gamma$.

Отсюда знаменитый образ: простые числа — это музыка, а нули дзета-функции — её частоты. Ступенчатая функция $\psi(x)$ раскладывается в сумму гармоник ровно так, как звук раскладывается в спектр; и первые нули ($\gamma\approx14{,}13$, $21{,}02$, $25{,}01$, …) отвечают за самые заметные отклонения плотности простых от гладкого закона.

Теперь ясна и роль гипотезы. Величина $\beta=\mathrm{Re}\,\rho$ управляет громкостью гармоники. Гипотеза Римана утверждает, что все амплитуды равны $\sqrt x$ — то есть все гармоники одинаково тихие, шум максимально равномерен. Формально:

$$\text{ГР}\iff \pi(x)=\mathrm{li}(x)+O\!\left(\sqrt{x}\,\ln x\right).$$

Без гипотезы известна оценка гораздо хуже. А доказательство того, что нулей нет на самой прямой $\mathrm{Re}\,s=1$, — это в точности теорема о распределении простых чисел, доказанная АдамаромЖак Адамарфранцузский математик · 1865–1963Доказал теорему о распределении простых чисел — одновременно и независимо с Валле-Пуссеном, без единого слова спора о приоритете. Прожил девяносто семь лет и написал книгу о том, как математики думают. и Валле-ПуссеномШарль Жан де ла Валле-Пуссенбельгийский математик · 1866–1962Доказал теорему о распределении простых чисел одновременно с Адамаром и независимо от него, а через три года первым получил оценку остаточного члена — то есть не только «сколько», но и «с какой точностью». в 1896-м.

Полтора века спустя

Год	Что известно
1896	нулей нет на прямой $\mathrm{Re}\,s=1$ (Адамар, Валле-Пуссен) — отсюда ТРПЧ
1914	на критической прямой лежит бесконечно много нулей (ХардиГодфри Харолд Хардибританский математик · 1877–1947Гордился тем, что не сделал ничего полезного, — и написал главную формулу популяционной генетики; главным своим вкладом в науку называл открытие Рамануджана.)
1942	на ней лежит положительная доля всех нулей (СельбергАтле Сельбергнорвежский и американский математик · 1917–2007В оккупированной Норвегии в одиночку доказал, что положительная доля нулей дзета-функции лежит на критической прямой; потом получил элементарное доказательство теоремы о простых числах — и рассорился из-за…)
1974	доля не меньше $1/3$ (Левинсон); 1989 — не меньше $2/5$ (Конри); сегодня около $41{,}7\%$
2004	первые $10^{13}$ нулей проверены и лежат на прямой (Гурдон)

Отдельный сюжет — бумаги Римана. В 1932 году Карл Людвиг Зигель разобрал его черновики в Гёттингене и обнаружил, что за восемью опубликованными страницами стояли огромные вычисления: Риман сам находил нули численно и владел формулой (теперь она называется формулой Римана — Зигеля), которой до 1932 года никто не знал. Заодно выяснилось, что фраза «после нескольких безуспешных попыток» была сильным преуменьшением.

И ещё один сюжет, самый неожиданный. В 1972 году Хью Монтгомери, изучавший корреляции между нулями, за чаем в Принстоне рассказал о своих формулах физику Фримену Дайсону. Тот немедленно узнал в них статистику собственных значений случайных эрмитовых матриц — ту, которой описываются уровни энергии тяжёлых атомных ядер. Совпадение подтверждено обширными вычислениями и не объяснено до сих пор; из него выросла гипотеза Гильберта — Пойа о том, что нули суть спектр некоторого самосопряжённого оператора, и целая область на стыке теории чисел, квантового хаоса и теории случайных матриц.

Гипотеза Римана — единственная задача, попавшая и в список Гильберта 1900 года (восьмая проблема), и в список задач тысячелетия 2000 года. ГильбертуДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. приписывают ответ на вопрос, что бы он сделал, проснувшись через пятьсот лет: «спросил бы, доказана ли гипотеза Римана».

Задача. Из формулы $\psi(x)=x-\sum_\rho x^{\rho}/\rho+\dots$ выведите, что если бы существовал нуль с $\mathrm{Re}\,\rho=0{,}9$, то отклонение $\psi(x)-x$ было бы порядка $x^{0{,}9}$ — то есть распределение простых было бы заметно «шумнее». Сравните с $\sqrt x=x^{0{,}5}$ и объясните, почему гипотеза Римана — это утверждение о том, что простые расположены настолько равномерно, насколько вообще возможно.

Следующая точка: Брауншвейг — где «идеальные числа» КуммераЭрнст Куммернемецкий математик · 1810–1893Обнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть. получат окончательный вид и теория чисел обзаведётся современным языком.