Эйлер: от числа Ферма до дзета-функции

Тридцать лет одной биографии

Леонард ЭйлерJakob Emanuel Handmann · Public domain

Первый петербургский период Эйлера (1727–1741) и переписка следующих лет дают, без большого преувеличения, половину классической теории чисел. Толчком послужил Христиан Гольдбах, сообщавший молодому коллеге утверждения Ферма и настойчиво спрашивавший, что с ними делать; Эйлер сперва отмахивался, потом втянулся на всю жизнь.

1732: делитель 641

Ферма полагал, что все числа

$$F_n=2^{2^{n}}+1$$

просты. Для $n=0,1,2,3,4$ это так: 3, 5, 17, 257, 65537. Пятое число $F_5=4\,294\,967\,297$ он проверить не сумел.

Эйлер находит разложение

$$F_5=641\cdot6\,700\,417 .$$

Как он на это вышел — само по себе поучительно. Он доказал, что всякий делитель $F_n$ имеет вид $k\cdot2^{n+1}+1$ (позже Люка усилил до $k\cdot2^{n+2}+1$), и потому перебирать пришлось не все числа подряд, а лишь $\{129, 257, 641, \dots\}$ — третье и оказалось искомым.

А проверить делимость можно вообще без деления, и это красиво. Заметим два разложения числа 641:

$$641=5\cdot2^{7}+1 \qquad\text{и}\qquad 641=2^{4}+5^{4}.$$

Из первого: $5\cdot2^{7}\equiv-1$, возведём в четвёртую степень: $5^{4}\cdot2^{28}\equiv1\pmod{641}$. Из второго: $5^{4}\equiv-2^{4}$. Подставим:

$$-2^{4}\cdot2^{28}\equiv1\quad\Longrightarrow\quad 2^{32}\equiv-1 \quad\Longrightarrow\quad 641\mid 2^{32}+1 . \qquad\blacksquare$$

Отдельная ирония истории: с тех пор не найдено ни одного простого числа Ферма, кроме первых пяти, и сегодня многие полагают, что их больше нет вовсе. Гипотеза Ферма не просто неверна — она, возможно, неверна максимально.

1737: эйлерово произведение

Главный результат этой точки и один из самых важных на всей линии.

$$\boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\prod_{p\ \text{просто}}\frac{1}{1-p^{-s}}\;}$$

Вывод в две строки. Каждый сомножитель разложим в геометрическую прогрессию:

$$\frac{1}{1-p^{-s}}=1+\frac1{p^{s}}+\frac1{p^{2s}}+\cdots$$

Перемножим по всем простым. Раскрывая скобки, мы выбираем из каждого сомножителя ровно одну степень $p^{-k_p s}$ и получаем слагаемое $1/n^{s}$, где $n=\prod p^{k_p}$. Каждое $n$ встретится ровно один раз — потому что разложение на простые множители единственно. Это и есть содержание тождества: слева арифметика сложения, справа — умножения, а мостом служит основная теорема арифметики.

Первое следствие: новое доказательство бесконечности простых. Положим $s=1$. Слева гармонический ряд, который расходится. Если бы простых было конечное число, справа стояло бы конечное произведение конечных чисел. Противоречие.

Второе следствие, более сильное. Логарифмируя, Эйлер получает

$$\sum_{p}\frac1p=\infty,$$

причём с оценкой $\sum_{p\leqslant x}1/p\approx\ln\ln x$. Это гораздо сильнее евклидова результата: простых не просто бесконечно много — их «много» в количественном смысле. Для сравнения, сумма обратных квадратов сходится, значит квадратов «меньше», чем простых. А для простых-близнецов та же сумма сходится (Брун, 1919) — то есть их существенно меньше, и потому вопрос об их бесконечности так труден.

Здесь впервые дискретный вопрос («сколько простых?») решается непрерывными средствами. От этого тождества прямая дорога к L-функциям Дирихле и к дзета-функции Римана.

1735 и попутно: задача Базеля

К той же группе работ примыкает результат, прославивший Эйлера в Европе:

$$\zeta(2)=1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}.$$

Задача стояла с 1650 года и не поддавалась ни Лейбницу, ни Якобу Бернулли. Подробнее об этом — в линии анализа; здесь важно следствие: вероятность того, что два случайно взятых числа взаимно просты, равна $6/\pi^{2}\approx0{,}608$ — потому что она равна $\prod_p(1-p^{-2})=1/\zeta(2)$. Число $\pi$ в вопросе о делимости целых чисел — первый признак того, что дальше будет очень странно.

Эйлер вычислил и все чётные значения: $\zeta(4)=\pi^{4}/90$, и вообще $\zeta(2k)=r\pi^{2k}$ с рациональным $r$. А про $\zeta(3)$ до сих пор известно немногое: что оно иррационально, доказал Роже Апери лишь в 1978 году, и его доказательство поначалу сочли ошибочным.

1747–1749 и далее

Теорема о двух квадратах доказана. Семь лет ушло у Эйлера на рождественскую теорему Ферма; ключом послужил спуск в сочетании с тем, что $-1$ является квадратичным вычетом по модулю $p$ ровно при $p\equiv1\pmod4$.

Совершенные числа. Доказано обратное к предложению Евклида IX.36: всякое чётное совершенное число имеет вид $2^{n-1}(2^{n}-1)$.

Функция $\varphi$ и обобщение малой теоремы (1763, уже берлинский период).

Квадратичная взаимность. Эйлер сформулировал закон в 1783 году (опубликовано посмертно), не сумев доказать; Лежандр придал ему привычную форму и ввёл символ; доказал Гаусс в 1796-м.

Сумма степеней. Гипотеза Эйлера о том, что для суммы $k$-х степеней нужно не меньше $k$ слагаемых, продержалась двести лет и была опровергнута перебором на компьютере: $27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$ (Ландер и Паркин, 1966).

Одна фигура — и почти весь раздел. Следующему поколению останется навести систему.

Задача. Пользуясь эйлеровым произведением, покажите, что $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{s}}=\frac{1}{\zeta(s)}$, где $\mu$ — функция Мёбиуса ($\mu(n)=0$, если $n$ делится на квадрат, и $(-1)^{k}$, если $n$ — произведение $k$ различных простых).
(Указание: $\dfrac1{\zeta(s)}=\prod_p\left(1-p^{-s}\right)$; раскройте произведение и заметьте, что каждое свободное от квадратов $n$ даёт слагаемое со знаком $(-1)^{k}$, а остальные не появляются вовсе.)

Следующая точка: Москва — откуда отправят письмо с вопросом, на который не ответят и через три века.