Европа · решение базельской задачи, 1735
Базельская задача
Как звучало тогда
Найти сумму ряда, составленного из обратных величин квадратов натуральных чисел. Задача эта, доселе тщетно осаждаемая, найдена мною неожиданно.
Условие
Найти сумму $1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\ldots$. Оценить, сколько членов нужно взять, чтобы получить два верных знака после запятой.
Показать ответ
$\frac{\pi^2}{6}=1{,}644934\ldots$; для двух знаков нужно около двухсот членов
О чём эта задача
Задачу ставили девяносто лет: над ней бились Менголи, Валлис, оба старших Бернулли. Эйлер сначала посчитал сумму приближённо до двадцатого знака хитрым ускорением ряда, увидел в ответе $\frac{\pi^2}{6}$ — и только потом нашёл доказательство, разложив синус в бесконечное произведение по корням. Приём был дерзкий: право обращаться с бесконечным многочленом как с конечным ему пришлось обосновывать ещё десять лет. Появление $\pi$ там, где нет ни одной окружности, остаётся одним из самых убедительных доводов в пользу того, что математика не выдумывается.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.