Вигго Брун

Решето Эратосфена знает каждый школьник. Брун заметил, что его можно применять не для того, чтобы находить простые, а для того, чтобы оценивать их количество, — и с этого началась целая наука.

Почему решето не работает

Решето Эратосфена устроено просто: вычёркиваем кратные двойки, тройки, пятёрки и так далее. Если попытаться посчитать, сколько чисел уцелеет, по формуле включений-исключений, получится сумма с $2^{k}$ слагаемыми, где $k$ — число используемых простых.

Беда в том, что слагаемые эти огромны, а ответ мал: погрешность съедает результат целиком. Формула точна и бесполезна.

Что придумал Брун

В 1915–1919 годах он предложил обрывать включения-исключения — брать не все слагаемые, а первые несколько. Точного равенства не получится, зато получится неравенство: чётное число шагов даёт оценку сверху, нечётное — снизу. Оценки грубые, но конечные и работающие.

Приём этот теперь называется решетом Бруна, и с него началась современная теория решет: решето Сельберга, большое решето Линника, решето Бомбьери — Виноградова, а в наши дни — работы Чжана, Мейнарда и Тао о промежутках между простыми.

Константа Бруна

Главный его результат такой. Про простых близнецов — пары вида $(p, p+2)$ — до сих пор неизвестно, конечно их или бесконечно. Брун доказал утверждение, которое хоть что-то говорит наверняка:

$$\sum_{p,\;p+2\ \text{просты}}\left(\frac1p + \frac1{p+2}\right) = B < \infty.$$

Сумма обратных величин к близнецам сходится. Число $B \approx 1{,}9021605\ldots$ называется константой Бруна.

Смысл в сопоставлении. Сумма обратных ко всем простым расходится — это доказал Эйлер, и расходимость означает, что простых «довольно много». А у близнецов сходится, значит их существенно меньше. Отсюда, впрочем, не следует их конечность: сходящийся ряд бывает и бесконечным.

Заодно из работы Бруна вышел первый результат в сторону проблемы Гольдбаха: всякое достаточно большое чётное число есть сумма двух чисел, у каждого из которых не более девяти простых множителей. Дальше эту границу опускали десятилетиями, дойдя в 1966 году до «простое плюс произведение не более двух простых» (Чэнь Цзинжунь).

Кстати, константа Бруна попала однажды в новости: в 1994 году, считая её на новом процессоре Pentium, Томас Найсли обнаружил ошибку в делении с плавающей точкой, стоившую Intel полумиллиарда долларов.

Норвегия

Родился в 1885 году в Лиер под Драмменом. Учился в Кристиании (Осло), стажировался в Гёттингене. Преподавал в Тронхеймском техническом институте, с 1946 года — профессор в Осло.

Занимался также историей математики и цепными дробями многомерного обобщения; в старости увлечённо разбирал старинные норвежские способы счёта. Прожил девяносто три года, умер в 1978 году в Драммене.