Брун: решето и константа близнецов

Что не так с решетом ЭратосфенаЭратосфен Киренскийгреческий математик, географ и филолог · около 276–194 до н. э.Заведующий Александрийской библиотекой придумал способ выписывать простые числа, которым пользуются до сих пор без изменений, — и измерил окружность Земли по разнице длины теней, ошибившись на считанные…

Решето Эратосфена прекрасно выписывает простые, но плохо их считает.

Попробуем оценить количество чисел до $x$, не делящихся ни на одно простое $p\leqslant z$. По формуле включений-исключений

$$\#\{n\leqslant x:\ p\nmid n\ \forall p\leqslant z\}=\sum_{d\mid P(z)}\mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d}\right\rfloor,$$

где $P(z)$ — произведение всех простых до $z$. Главный член равен $x\prod_{p\leqslant z}(1-1/p)$ и выглядит обнадёживающе. Беда в погрешностях: слагаемых $2^{\pi(z)}$ штук, каждое даёт ошибку до единицы, и суммарная ошибка перекрывает главный член, как только $z$ становится хоть сколько-нибудь большим.

Поэтому две тысячи лет решето оставалось вычислительным приёмом и не давало ни одной теоремы.

Идея Бруна

Вигго Брун (1885–1978) заметил, что включение-исключение можно оборвать.

Опирается это на неравенства Бонферрони: частичные суммы формулы включений-исключений попеременно дают оценку сверху и снизу. Если оборвать на чётном числе слагаемых — получим оценку сверху, на нечётном — снизу. Слагаемых при этом остаётся не $2^{\pi(z)}$, а полиномиально много, и погрешность удаётся удержать.

Платой служит то, что оценка сверху и снизу перестают совпадать: точного ответа решето не даёт, даёт вилку. Но вилки хватает для очень многого.

Положение Бруна в 1919 году стоит отметить отдельно: постоянной научной должности у него не было. Он учился в Христиании (Осло получил нынешнее имя только в 1925 году), с 1910-го занимался исследованиями в Гёттингене, ассистентом в Христиании стал в 1921-м, профессором в Тронхейме — в 1923-м. Работа, с которой начинается современная теория решёт, написана человеком без места.

Результат первый: близнецов мало

Простые-близнецы — пары вида $(p,p+2)$: $(3,5)$, $(5,7)$, $(11,13)$, $(17,19)$, $(29,31)$… Бесконечно ли их много — вопрос открытый до сих пор.

Брун доказывает верхнюю оценку правильного порядка:

$$\pi_2(x)\ \ll\ \frac{x}{(\ln x)^{2}} ,$$

где $\pi_2(x)$ — число близнецов до $x$. Гипотеза ХардиГодфри Харолд Хардибританский математик · 1877–1947Гордился тем, что не сделал ничего полезного, — и написал главную формулу популяционной генетики; главным своим вкладом в науку называл открытие Рамануджана. — Литлвуда уточняет константу:

$$\pi_2(x)\sim 2C_2\,\frac{x}{(\ln x)^{2}},\qquad C_2=\prod_{p\geqslant3}\left(1-\frac{1}{(p-1)^{2}}\right)\approx0{,}660162 .$$

Смысл множителя простой: если бы простые были разбросаны независимо, близнецов было бы $\sim x/(\ln x)^2$; поправка $2C_2$ учитывает, что делимость на маленькие простые у $p$ и $p+2$ не независима.

Результат второй: сумма сходится

Отсюда — то, ради чего эту точку стоит помнить.

Теорема Бруна (1919). Сумма обратных величин простых-близнецов сходится:
$$B_2=\left(\frac13+\frac15\right)+\left(\frac15+\frac17\right)+\left(\frac1{11}+\frac1{13}\right)+\cdots<\infty .$$

Величину $B_2\approx1{,}902160583$ называют константой Бруна.

Сопоставьте с результатом Эйлера: $\sum_p 1/p=\infty$. Значит, близнецов существенно меньше, чем простых вообще, — настолько меньше, что ряд сходится.

И здесь важный логический момент, который стоит проговорить школьнику. Из расходимости ряда следует бесконечность множества; из сходимости не следует ничего. Ряд может сходиться и при бесконечном числе слагаемых. Поэтому теорема Бруна вопроса о близнецах не решает — она лишь объясняет, почему он труден: приём, которым ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. доказал бесконечность простых, здесь не работает в принципе.

Отдельная историческая деталь. В 1994 году Томас Найсли считал константу Бруна на компьютерах и обнаружил расхождение в результатах. Причиной оказался дефект деления в процессоре Intel Pentium — знаменитый баг FDIV, стоивший компании около 475 миллионов долларов на замену процессоров. Теория простых-близнецов обнаружила ошибку в кремнии.

Результат третий: подступ к ГольдбахуХристиан Гольдбахнемецкий и российский учёный, дипломат · 1690–1764Профессиональным математиком не был; его роль оказалась важнее — он читал Ферма и не давал Эйлеру покоя. Гипотеза, высказанная им на полях письма, не доказана 283 года.

Тем же решетом Брун доказал:

Всякое достаточно большое чётное число представимо в виде суммы двух чисел, у каждого из которых не более девяти простых множителей.

Формула «$9+9$» — первый в истории результат в сторону гипотезы Гольдбаха. Дальше числа снижались: $7+7$, $6+6$, …, и в 1966 году Чэнь Цзинжунь дошёл до $1+2$ — сумма простого и числа не более чем с двумя множителями.

Дальше решето не идёт, и не по недостатку усердия. Мешает паритетный барьер, обнаруженный СельбергомАтле Сельбергнорвежский и американский математик · 1917–2007В оккупированной Норвегии в одиночку доказал, что положительная доля нулей дзета-функции лежит на критической прямой; потом получил элементарное доказательство теоремы о простых числах — и рассорился из-за…: решётные методы в принципе не умеют отличать числа с чётным числом простых множителей от чисел с нечётным. Именно поэтому «$1+2$» есть, а «$1+1$» нет.

Что из этого выросло

Из решета Бруна выросла целая техника: решето Сельберга (1940-е, оптимальная квадратичная форма), большое решето Линника (1941), теорема Бомбьери — ВиноградоваИван Матвеевич Виноградовсоветский математик · 1891–1983Придумал метод тригонометрических сумм и доказал им тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел — впервые взяв аддитивную задачу о простых без всяких недоказанных гипотез. (1965). Полвека спустя эта же линия приведёт к работе Чжана об ограниченных промежутках — то есть к первому безусловному продвижению именно в том вопросе, с которого Брун начал.

Сам Брун, к слову, известен ещё и как историк математики: он разбирал рукописи АбеляНильс Хенрик Абельнорвежский математик · 1802–1829Доказал, что формулы для уравнения пятой степени не существует, и потребовал от математики строгости, которой она тогда не знала, — за шесть лет работы и двадцать шесть лет жизни. и СофусаСофус Линорвежский математик · 1842–1899Перенёс мысль Галуа с уравнений алгебраических на дифференциальные — и получил объект, без которого не существует ни современной геометрии, ни физики элементарных частиц. Ли, а его алгоритм цепных дробей для нескольких чисел используют в теории чисел и сегодня.

Задача. Проверьте на первых близнецах, что частичные суммы $B_2$ растут очень медленно: сложите $\frac13+\frac15+\frac15+\frac17+\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{17}+\frac1{19}$ и сравните с $1{,}902$.
(Ответ: около $1{,}33$. Сходимость крайне медленная: чтобы получить два верных знака константы, нужно просуммировать близнецов до $10^{16}$.)

Следующая точка: Манчестер — где метод секущих ДиофантаДиофант Александрийскийгреческий математик · около III века н. э.Первым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года. наконец доведут до конца.