Карта → событие
Морделл: рациональные точки образуют группу с конечным числом образующих
Человек
Луис Джоэл Морделл (1888–1972) родился в Филадельфии в семье эмигрантов из Литвы, математику учил по подержанным учебникам и в восемнадцать лет самостоятельно, без чьей-либо помощи, поехал в Кембридж сдавать конкурсный экзамен на стипендию — и сдал. Всю дальнейшую жизнь он провёл в Англии: с 1920 года в Манчестере, с 1945-го в Кембридже, где занял садлеровскую кафедру после ХардиГодфри Харолд ХардиГордился тем, что не сделал ничего полезного, — и написал главную формулу популяционной генетики; главным своим вкладом в науку называл открытие Рамануджана..
Статья, о которой речь, — «On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1922.
Задача, идущая от ДиофантаДиофант АлександрийскийПервым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года.
Вернёмся к приёму, разобранному в точке о Диофанте. На кривой третьей степени
$$E:\quad y^{2}=x^{3}+ax+b$$
через две рациональные точки проводится прямая; она пересекает кубику в третьей точке, и та тоже рациональна (кубическое уравнение с двумя рациональными корнями имеет рациональным и третий). Отразив её относительно оси, получают операцию
$$P\oplus Q=R,$$
превращающую множество рациональных точек $E(\mathbb{Q})$ в абелеву группу. Касательная в точке даёт удвоение $P\oplus P$.
Так из немногих известных решений можно порождать новые. Вопрос, стоявший со времён Диофанта: всегда ли этого достаточно? Не окажется ли, что есть решения, которых не получить ни из каких данных?
Теорема Морделла
Теорема (1922). Группа $E(\mathbb{Q})$ рациональных точек эллиптической кривой над $\mathbb{Q}$ конечно порождена:
$$E(\mathbb{Q})\;\cong\;\mathbb{Z}^{r}\times T,$$
где $T$ — конечная группа кручения, а $r$ — неотрицательное целое, называемое рангом.
Ответ: да, достаточно. Существует конечный набор точек, из которого секущими и касательными получаются все рациональные решения. Двухтысячелетний метод оказался полным.
Доказательство — систематизированный спуск Ферма: вводится «высота» точки (грубо говоря, число знаков в записи её координат), доказывается, что удвоение увеличивает высоту предсказуемым образом, и что точек ограниченной высоты конечное число. Дальше — стандартный аргумент о конечной порождённости. ВейльГерман ВейльСоединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. в 1928 году распространил результат на абелевы многообразия над числовыми полями; теперь это теорема Морделла — Вейля.
Кручение описал Барри Мазур в 1977 году: у эллиптической кривой над $\mathbb{Q}$ группа $T$ может быть только одной из пятнадцати конкретных групп (циклические порядков 1–10 и 12, и ещё пять вида $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2m$). Результат неожиданно жёсткий и очень трудный.
А вот ранг до сих пор загадка. Нет алгоритма, гарантированно его вычисляющего; неизвестно даже, ограничен ли он. Рекордная известная кривая имеет ранг не меньше 29. Именно про ранг и говорит гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера.
Замечание в конце статьи
Дописав основное, Морделл добавил соображение, которое сам считал побочным.
Кривые классифицируются по роду $g$ — грубо говоря, по числу «ручек» у соответствующей поверхности. И арифметика кривой оказывается жёстко привязана к этому чисто геометрическому числу:
| Род | Пример | Рациональные точки |
|---|---|---|
| $g=0$ | прямая, окружность, коника | либо нет вовсе, либо бесконечно много, и все получаются параметризацией |
| $g=1$ | эллиптическая кривая | конечно порождённая группа: может быть и конечной, и бесконечной |
| $g\geqslant2$ | всё остальное | ? |
Для рода 0 всё решил ещё Диофант методом секущих: одна рациональная точка порождает все. Для рода 1 — только что доказанная теорема. Морделл предположил:
Гипотеза Морделла. У кривой рода $g\geqslant2$, заданной уравнением с рациональными коэффициентами, рациональных точек конечное число.
Геометрический инвариант — род — определяет арифметику. Это глубокая мысль, и она стала одной из ведущих в математике XX века.
Что это значило бы для ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.. Кривая $x^{n}+y^{n}=1$ имеет род
$$g=\frac{(n-1)(n-2)}{2}.$$
При $n=3$ получаем $g=1$ — эллиптическая кривая, и здесь работает теорема Морделла (ЭйлерЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. доказал, что нетривиальных решений нет). При $n=4$ уже $g=3$, при $n=5$ — $g=6$, и дальше род растёт. Значит, гипотеза Морделла давала бы: при каждом $n\geqslant4$ у уравнения Ферма конечное число решений.
Не ноль — конечное число. Между «конечно» и «ни одного» лежит вся оставшаяся трудность, и её преодолеет только Уайлс. Но сам факт конечности — уже огромное продвижение, и его докажет Фальтингс в 1983 году.
Задача. Кривая $y^{2}=x^{3}-2$ содержит очевидную рациональную точку $(3,5)$. Постройте касательную в ней и найдите вторую рациональную точку кривой.
(Указание: дифференцируя, $2y\,y'=3x^{2}$, откуда в точке $(3,5)$ угловой коэффициент $k=27/10$. Подставляя $y=5+k(x-3)$ в уравнение и зная, что $x=3$ — двойной корень, получаем третий корень $x=129/100$, и точка $\left(\frac{129}{100},\,-\frac{383}{1000}\right)$ после отражения даёт $\left(\frac{129}{100},\frac{383}{1000}\right)$. Проверьте подстановкой.)
Следующая точка: Одесса — где будет доказана теорема, из которой вырастет вся современная теория полей классов.