Уайлс: закрытие поля

Замечание о принадлежности

Строго говоря, теорема Ферма принадлежит теории чисел, а не алгебре. Основание включить её сюда: она замыкает две точки линии — заметку ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. на полях «Арифметики» и идеальные числа Куммера (Куммер), — и притом использует аппарат, целиком выросший из этой линии: схемы, группы Галуа, представления.

Если карта строго разделяет линии, точку разумно поместить в теорию чисел с перекрёстными ссылками сюда.

Постановка

$$x^{n}+y^{n}=z^{n}, \qquad n\geqslant3, \qquad xyz\ne0$$

не имеет решений в целых числах.

Хронология попыток:

Кто	Год	Что
Ферма	ок. 1637	заметка на полях (Диофант); доказательство для $n=4$ методом спуска
ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя.	1770	$n=3$ (с пробелом, восполненным позже)
Софи Жермен	ок. 1820	первый общий подход; целый класс показателей
ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа., ЛежандрАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс.	1825	$n=5$
Ламе	1839	$n=7$
КуммерЭрнст Куммернемецкий математик · 1810–1893Обнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть.	1847	все регулярные простые; все $p<100$
компьютеры	к 1993	проверено для всех $p<4\,000\,000$

Проверка миллионов случаев ничего не доказывает — показателей бесконечно много.

Путь, которым пошли

Решение пришло совершенно с другой стороны, и цепочка стоит того, чтобы её проследить.

1. Гипотеза Таниямы — Симуры (1955). Ютака ТаниямаЮтака Таниямаяпонский математик · 1927–1958В двадцать восемь лет задал на симпозиуме вопрос, показавшийся невероятным: не всякая ли эллиптическая кривая модулярна? Через сорок лет из ответа вывели Великую теорему Ферма. Автор до этого не дожил. на симпозиуме в Токио и Никко высказал (в форме, уточнённой затем Симурой и ВейлемГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения.) гипотезу:

Всякая эллиптическая кривая над $\mathbb{Q}$ модулярна.

Эллиптическая кривая — кривая вида $y^{2}=x^{3}+ax+b$. Модулярная форма — функция на верхней полуплоскости с сильными свойствами симметрии (родственница $j$-инварианта из точки о Moonshine).

Утверждение связывает два совершенно разных мира: арифметику кубических кривых и комплексный анализ модулярных форм. Вейль называл её «поразительно смелой»; многие считали недоказуемой.

Трагическая деталь: Танияма покончил с собой в 1958 году, в 31 год.

2. Кривая Фрея (1985). Герхард Фрей заметил: если существует решение $a^{p}+b^{p}=c^{p}$, то кривая

$$y^{2}=x\left(x-a^{p}\right)\left(x+b^{p}\right)$$

обладала бы настолько диковинными свойствами, что модулярной быть не могла.

3. Теорема Рибета (1986). Кен Рибет доказал это строго (используя «эпсилон-гипотезу» СерраЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все.): кривая Фрея действительно не модулярна.

Следствие: гипотеза Таниямы — Симуры $\Longrightarrow$ Великая теорема Ферма.

Задача, стоявшая 350 лет, свелась к задаче, стоявшей 30 лет и считавшейся ещё более трудной. Но теперь у неё был контекст: аппарат современной алгебраической геометрии.

4. Уайлс. Эндрю Уайлс (род. 1953), профессор Принстона, услышал о теореме Рибета в 1986 году — и, по его рассказу, немедленно понял, что будет заниматься этим до конца.

Он мечтал о теореме Ферма с десяти лет, когда прочёл о ней в библиотечной книге.

Семь лет он работал в тайне, никому не говоря, над чем именно. Публиковал старые заготовки, чтобы не вызывать вопросов. Знала только жена.

Развязка

23 июня 1993 года, Кембридж, Институт Исаака НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику.. Уайлс читает третью лекцию цикла с невыразительным названием «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью.» — и в конце выводит на доске Великую теорему Ферма как следствие.

Зал взорвался; новость попала на первые полосы газет по всему миру.

Осенью 1993 года рецензенты нашли пробел. В одном месте («система Эйлера», оценка порядка групп Сельмера) рассуждение не проходило. Уайлс восемь месяцев пытался закрыть его в одиночку, безуспешно, и в конце концов был близок к тому, чтобы признать поражение.

19 сентября 1994 года — прорыв. Уайлс, пересматривая причину неудачи одного из подходов (метода Флаха — Колывагина), понял, что именно она позволяет применить другой подход, от которого он отказался тремя годами раньше (теорию Ивасавы). Два неработающих метода дополнили друг друга.

Он описал этот момент как невыразимо прекрасный: простое и элегантное решение, на которое он смотрел, не веря глазам, двадцать минут.

Публикация: Annals of Mathematics 141 (май 1995):

• Andrew Wiles, «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem», 108 страниц;
• Richard Taylor, Andrew Wiles, «Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras», 20 страниц — статья, закрывающая пробел.

Уайлс доказал гипотезу Таниямы — Симуры для полустабильных эллиптических кривых — этого достаточно для ВТФ. Полную гипотезу доказали Брёй, Конрад, Даймонд и ТейлорБрук Тейлоранглийский математик · 1685–1731Опубликовал формулу, которой сегодня раскладывают всё подряд, — не заметив, что не проверил, сходится ли ряд и к той ли функции. в 2001 году; теперь она называется теоремой о модулярности.

Награды. Филдсовскую медаль Уайлс получить не мог — в 1998 году ему было 45, а медаль присуждается до сорока. Международный математический союз вручил ему особую серебряную табличку — единственный случай в истории. Абелевская премия — 2016.

Что здесь замыкается

Сюжет ДиофантаДиофант Александрийскийгреческий математик · около III века н. э.Первым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года.. Заметка написана на полях задачи II.8 книги, изданной Баше в 1621 году (Диофант). Задача Диофанта — о разложении квадрата на два квадрата; Ферма спросил, что будет для высших степеней.

Сюжет Куммера. Куммер создал теорию идеальных чисел ради этой задачи и её не решил (Куммер). Но идеалы, число классов и алгебраическая теория чисел стали фундаментом всего, что было дальше, — включая аппарат Уайлса.

Сюжет линии в целом. Доказательство использует: теорию Галуа, представления групп, коммутативную алгебру и нётеровы кольца, схемы и когомологии (схемы Гротендика), модулярные формы (родня точки о Moonshine). Практически вся линия алгебры XX века задействована в доказательстве утверждения о целых числах, сформулированного в 1637 году.

Замыкание круга

Точка Уайлса замыкает свои сюжеты. Линия замыкает ещё четыре, и здесь им место — дальше на карте ничего нет.

Начиналась она с вавилонских рецептов вычисления, а по дороге дошла до объектов, у которых нет ни точек, ни коммутативности, ни конечной размерности. Но замыкание не только риторическое. Обратим внимание на конкретные связи:

• ГамильтонУильям Роуэн Гамильтонирландский математик, физик и астроном · 1805–1865Пятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности. (1843) отказался от коммутативности умножения → ДринфельдВладимир Дринфельдсоветский и американский математик · род. 1954Придумал квантовые группы — деформацию алгебры, из которой инварианты узлов получаются пачками; шестнадцати лет выступал на международном конгрессе, в тридцать шесть получил Филдсовскую медаль. (1985) отказался от коммутативности алгебры функций.
• КиллингВильгельм Киллингнемецкий математик, преподаватель лицея · 1847–1923Классифицировал все простые алгебры Ли, работая учителем в провинциальном католическом лицее, — и обнаружил пять исключительных, включая E₈, которых никто не ожидал. (1888) классифицировал алгебры Ли → КацВиктор Кацсоветский и американский математик · род. 1943Снял с алгебр Ли условие конечномерности — и получил бесконечномерные алгебры Каца — Муди, на представлениях которых сегодня стоят и конформная теория поля, и квантовые группы, и «чудовищный вздор». и Муди (1967) сняли условие конечномерности → Борчердс (1992) обобщил ещё дальше и доказал moonshine.
• ФробениусФердинанд Фробениуснемецкий математик · 1849–1917За несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой. (1896) создал теорию представлений → она стала языком физики → Ленинград (1978) и Черноголовка (1984) вернули алгебре уравнение ЯнгаЧжэньнин Янгкитайско-американский физик-теоретик · 1922–2025Написал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. — Бакстера, конформную симметрию и квантовые группы.
• КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы. (1854) ввёл абстрактную группу → классификация (1963–2004) перечислила все конечные простые → Монстр оказался связан с модулярными функциями.

Алгебра, начинавшая как искусство решать уравнения, за три тысячи лет стала общим языком, на котором физика, геометрия, теория чисел и логика говорят друг с другом.

Мораль

Стоит сформулировать её для класса, потому что она нетривиальна.

Три с половиной века задача была неприступна. Решена она была не усилением атаки в лоб, а тем, что её переформулировали в других терминах — свели к утверждению о совершенно других объектах (эллиптических кривых и модулярных формах), для которых был построен мощный аппарат.

Это ровно тот ход, которым Галуа решил задачу о разрешимости уравнений (Галуа): перестать изучать уравнение и начать изучать его группу. Вся линия алгебры — история о том, что трудные вопросы решаются переменой предмета.

И ещё: Ферма своего «удивительного доказательства» не имел. Математики единодушны в этом. Скорее всего, он нашёл рассуждение, работающее для $n=4$, и в первый момент решил, что оно обобщается. Ошибка одного человека на полях чужой книги породила три с половиной века математики.

Соседние точки: Диофант → Куммер (1847) → Дедекинд → Уайлс.