Жан-Пьер Серр

Серр получил Филдсовскую медаль в 1954 году, двадцати семи лет; моложе не было никого ни до, ни после. Через полвека, в 2003-м, он получил первую в истории Абелевскую премию. Между этими двумя датами он успел сменить область работы дважды.

Бурбаки

Родился в 1926 году в Бажа, на юге Франции, в семье аптекарей. Высшая нормальная школа, диссертация 1951 года у Анри Картана. Почти сразу вошёл в группу Бурбаки и оставался в ней два десятилетия — до возрастного предела, который группа установила сама себе.

С 1956 года и до отставки — кафедра алгебры и геометрии в Коллеж де Франс; он занял её в тридцать лет и держал тридцать восемь.

Гомотопические группы сфер

Первое из трёх. Расслоение Хопфа показало, что группы $\pi_m(S^n)$ при $m>n$ нетривиальны, — а считать их не умели.

Серр в диссертации 1951 года применил к задаче спектральные последовательности — аппарат, придуманный Лере в лагере военнопленных и до того почти никем не освоенный. Результат: группы $\pi_m(S^n)$ при $m>n$ конечны, кроме двух явно описанных серий. Впервые появился общий метод там, где раньше были отдельные вычисления.

Метод Серра — «локализация»: считать всё по одному простому числу за раз, а потом собирать. Это стало стандартным приёмом алгебраической топологии.

FAC

Второе. Работа «Faisceaux algébriques cohérents» (1955) переносит в алгебраическую геометрию язык пучков, придуманный для топологии.

Смысл хода такой. Алгебраическое многообразие плохо описывается «точками»: над полем, где точек мало (скажем, конечным), их попросту не хватает. Пучок описывает не точки, а то, как локальные данные склеиваются в глобальные, — и работает в любой ситуации. Отсюда двойственность Серра, теоремы о когомологиях когерентных пучков и, главное, язык, на котором Гротендик через три года построил схемы.

Сам Серр говорил, что схемы — это Гротендик, а он лишь расчистил площадку. Расчистка заняла сто страниц и переменила предмет.

Числа

Третье. С шестидесятых он занят теорией чисел — и снова там, где нужен новый язык: представления Галуа. Каждой эллиптической кривой отвечает действие группы Галуа на точках конечного порядка, и вопросы о числах превращаются в вопросы о представлениях.

Его гипотеза о модулярности представлений (1987) — прямая часть той конструкции, которая привела Уайлса к Великой теореме Ферма; доказана она была только в 2009 году, уже после.

Ему же принадлежит «гипотеза Серра» о проективных модулях над кольцом многочленов, поставленная в FAC как вопрос и доказанная через двадцать лет Квилленом и Суслиным независимо.

Как он пишет

Отдельная его репутация — стилистическая. «Cours d'arithmétique» (1970) — книга на полторы сотни страниц, в которой изложены квадратичные формы, $p$-адические числа, дзета-функция и модулярные формы; её читают студенты и специалисты, и ни одного лишнего слова в ней нет.

Премия Вольфа 2000 года, Абелевская премия 2003 года — первая. К девяноста годам он продолжал ходить на семинары и задавать докладчикам вопросы, которых те боялись больше всего.