Карта → событие
Чеботарёв: теорема о плотности
Постановка
Теорема Дирихле говорит: простые числа равномерно распределяются по классам вычетов $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{*}$, каждому достаётся доля $1/\varphi(d)$.
Возникает вопрос, который выглядит естественным продолжением, а на деле оказывается гораздо глубже. Возьмём многочлен с целыми коэффициентами — скажем, $x^{3}-2$ — и будем раскладывать его по модулю разных простых. Иногда он распадётся на три линейных множителя, иногда останется неприводимым, иногда даст линейный и квадратичный. Как часто случается каждый вариант?
Ответ формулируется через группу Галуа многочлена и понятие элемента ФробениусаФердинанд ФробениусЗа несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой.: каждому простому $p$ (кроме конечного числа) сопоставляется класс сопряжённости в этой группе, и он-то и определяет тип разложения.
Теорема Чеботарёва (1922). Пусть $L/K$ — конечное расширение ГалуаЭварист ГалуаЗа двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. с группой $G$, а $C\subset G$ — класс сопряжённости. Тогда доля простых, для которых элемент Фробениуса попадает в $C$, равна
$$\frac{|C|}{|G|}.$$
Иначе говоря: простые числа «выбирают» элемент группы Галуа наугад, равновероятно.
Пример, который стоит проделать
Возьмём $f(x)=x^{3}-2$. Его группа Галуа над $\mathbb{Q}$ — это $S_3$, порядка 6, с тремя классами сопряжённости:
| Класс | Размер | Доля | Как $f$ раскладывается по модулю $p$ |
|---|---|---|---|
| единица | 1 | $1/6$ | три линейных множителя |
| три транспозиции | 3 | $1/2$ | линейный × квадратичный |
| два цикла длины 3 | 2 | $1/3$ | неприводим |
Проверим на нескольких простых. По модулю 5: кубы дают $0,1,3,2,4$ — двойка есть куб ($3^{3}=27\equiv2$), но других корней нет, значит один линейный и один квадратичный множитель — транспозиция. По модулю 31: $2$ является кубом и корней три (так как $31\equiv1\pmod 3$), — единичный класс. По модулю 7: $x^{3}\equiv2$ решений не имеет, при этом $7\equiv1\pmod3$… — здесь удобно просто проверить перебором: $1,1,6,6,1,6$ — двойки нет, значит $f$ неприводим по модулю 7.
Просчитав первую тысячу простых, получим доли, близкие к $1/6$, $1/2$, $1/3$. Это не эвристика — это теорема.
Практическое следствие, которым пользуются все системы компьютерной алгебры: чтобы узнать группу Галуа многочлена, достаточно разложить его по модулю многих простых и посмотреть на статистику циклических типов. Метод восходит к ван дер Вардену и работает на удивление быстро.
Теорема Дирихле получается как частный случай: для кругового расширения $\mathbb{Q}(\zeta_d)$ группа Галуа есть $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{*}$, она абелева, классы сопряжённости одноэлементны, и доля каждого равна $1/\varphi(d)$.
Автор и обстоятельства
Николай Григорьевич Чеботарёв (1894–1947) в 1921 году оказался в Одессе — без должности, в голодное время, зарабатывая случайными уроками. Он рассказывал потом, что решающая мысль пришла ему, когда он нёс воду из колодца.
Идея («трюк Чеботарёва») состояла в том, чтобы свести общий случай к круговому — тому, где всё уже сделано ДирихлеПетер Густав Лежён ДирихлеДал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа., — присоединив к полю подходящие корни из единицы и разложив задачу по промежуточным расширениям.
Работа была доложена в 1922-м, напечатана по-русски в 1923-м и по-немецки в «Mathematische Annalen» в 1926 году.
АртинЭмиль АртинДоказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор. к тому времени сформулировал свой общий закон взаимности, но доказать не мог. Прочитав Чеботарёва, он написал: доказал — «с помощью трюка Чеботарёва» (mit dem Kniff von Tschebotareff). Закон взаимности Артина (1927) — центральная теорема теории полей классов, обобщающая квадратичную взаимность Гаусса на все абелевы расширения; из неё, в свою очередь, растёт вся программа ЛенглендсаРоберт ЛенглендсНаписал от руки семнадцать страниц с предположением о связи теории чисел и анализа — и с оговоркой, что если это чепуха, у адресата есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой….
Забавная деталь исторической логики: сегодня теорему Чеботарёва принято выводить из теории полей классов, то есть из результатов, доказанных с её помощью. Порядок изложения перевернулся относительно порядка открытия.
Казанское продолжение
С 1928 года Чеботарёв заведовал кафедрой в Казанском университете и создал там алгебраическую школу. Именно в Казани он занялся, среди прочего, задачей о квадрируемых луночках Гиппократа: в 1934 году он свёл её к теории Галуа и разобрал почти все случаи, а его ученик Дороднов закрыл оставшиеся в 1947-м. Так две линии карты — теория чисел и геометрия — пересекаются в одном человеке и одном городе.
Ему же принадлежит теорема о том, что у матрицы дискретного преобразования ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. простого порядка все миноры отличны от нуля, — результат, пролежавший без применения полвека и оказавшийся нужным в 2000-е в теории сжатых измерений.
Задача. Многочлен $x^{2}+1$ имеет группу Галуа $\mathbb{Z}/2$. Какие доли простых предсказывает теорема Чеботарёва для двух возможных типов разложения по модулю $p$? Сверьте с известным ответом.
(Ответ: по $1/2$ на класс. И действительно, $x^{2}+1$ раскладывается на линейные множители при $p\equiv1\pmod4$ и неприводим при $p\equiv3\pmod4$, а таких простых поровну — это теорема Дирихле плюс критерий Ферма.)
Следующая точка: Москва — где закроют задачу, которую ГильбертДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. считал самой безнадёжной в своём списке.