Письмо из Мадраса

Письмо

Сриниваса Рамануджанавтор неизвестен · Public domain

16 января 1913 года Шриниваса Рамануджан (1887–1920), служащий портовой конторы в Мадрасе с окладом 20 фунтов в год, отправляет Годфри Харолду Харди в Тринити-колледж письмо: несколько страниц с примерно сотней утверждений без доказательств. Двум другим кембриджским математикам он писал раньше — те не ответили.

Харди рассказывал потом, что первой реакцией было раздражение: письмо походило на бумаги очередного изобретателя вечного двигателя. Но, вглядевшись, он позвал Литлвуда, и к полуночи оба пришли к выводу, что перед ними работа математика первого ряда.

Классификация Харди: часть формул известна, часть доказуема имеющимися средствами (и уже это делало автора выдающимся), а часть — такова, что «они должны быть верны, потому что, будь они неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать».

Вот несколько образцов из письма.

$$1-5\left(\frac12\right)^{3}+9\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)^{3}-13\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)^{3}+\cdots=\frac{2}{\pi};$$

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})(1+r^{2}x^{2})(1+r^{4}x^{2})\cdots}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{(1+r)(1+r^{3})(1+r^{5})\cdots};$$

$$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3 .$$

Последнее проверяется в одну строку и годится для школьного кружка: тождество $n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}$ разворачивается в бесконечную вложенную радикальную дробь, и при $n=1$ даёт 3.

В том же письме стояло и утверждение о том, что $1+2+3+\cdots=-\frac1{12}$, — Харди сразу понял, что речь о значении $\zeta(-1)$ в смысле аналитического продолжения (дзета-функции Римана), но неподготовленного читателя такая строка убеждает, что автор сумасшедший. Именно она отпугнула двух предыдущих адресатов.

Разбиения

Рамануджан приехал в Кембридж в апреле 1914 года; главным совместным результатом стала асимптотика числа разбиений $p(n)$ — количества способов представить $n$ в виде суммы натуральных слагаемых без учёта порядка. Например, $p(4)=5$: $4$, $3+1$, $2+2$, $2+1+1$, $1+1+1+1$.

Функция растёт быстро и неправильно: $p(10)=42$, $p(50)=204\,226$, $p(100)=190\,569\,292$. Никакой формулы для неё не было.

Теорема Харди — Рамануджана (1918).
$$p(n)\sim\frac{1}{4n\sqrt3}\,\exp\!\left(\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}\right).$$

Для $n=100$ формула даёт около $1{,}99\cdot10^{8}$ при истинном $1{,}906\cdot10^{8}$ — ошибка около 4 % и стремительно убывает.

Метод, которым это получено, — круговой метод: производящая функция $\sum p(n)q^{n}=\prod (1-q^{k})^{-1}$ рассматривается внутри единичного круга, а асимптотика извлекается из её поведения вблизи корней из единицы на границе. Приём оказался универсальным: именно на нём построены и работы Харди — Литлвуда о проблеме Гольдбаха, и метод тригонометрических сумм Виноградова, и вся аддитивная теория чисел XX века.

Ганс Радемахер в 1937 году довёл формулу до точной: сходящегося ряда, дающего целое число $p(n)$ в точности. Это исключительная редкость — асимптотика, доведённая до тождества.

Отдельно стоят конгруэнции Рамануджана, замеченные им по таблицам:

$$p(5n+4)\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 5),\qquad p(7n+5)\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 7),\qquad p(11n+6)\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 11).$$

Проверим первую: $p(4)=5$, $p(9)=30$, $p(14)=135$ — все делятся на 5. Почему для 5, 7 и 11 и не для 13, объяснилось лишь в 2000-е годы, когда Оно и Алгрен показали, что подобные конгруэнции существуют для всех простых, больших 3, но встречаются тем реже, чем больше модуль.

Тау и то, что из неё выросло

Рамануджан ввёл функцию $\tau(n)$ коэффициентами разложения

$$q\prod_{k=1}^{\infty}(1-q^{k})^{24}=\sum_{n\geqslant1}\tau(n)\,q^{n}$$

Кембридж между 1914 и 1919 годом: Рамануджан в центре, Харди — крайний справа, у Сенат-хаусаCharles F. Wilson · Public domain

(снова показатель 24 — тот же, что в задаче о пушечных ядрах), заметил, что $\tau$ мультипликативна, и высказал оценку $|\tau(p)|\leqslant 2p^{11/2}$. Мультипликативность доказал Морделл в 1917-м, а гипотезу Рамануджана — Пьер Делинь в 1974 году, и не иначе как выведя её из гипотез Вейля, за что и получил Филдсовскую медаль. Формула, найденная в Мадрасе по таблицам, оказалась следствием алгебраической геометрии над конечными полями.

1729

Харди приехал навестить больного Рамануджана в санатории и, не зная, о чём говорить, сказал, что приехал на такси с ничем не примечательным номером 1729. «Нет, — ответил Рамануджан, — это очень интересное число: наименьшее, представимое суммой двух кубов двумя способами».

$$1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.$$

С тех пор такие числа называют такси-числами. Известны первые шесть; седьмое не найдено.

Конец и продолжение

Рамануджан заболел (диагноз оспаривается; современная реконструкция — амёбный абсцесс печени, излечимый при тогдашней медицине, если бы его распознали), вернулся в Индию в 1919-м и умер в апреле 1920 года в возрасте 32 лет.

В 1976 году Джордж Эндрюс обнаружил в архиве Тринити-колледжа 138 страниц, написанных Рамануджаном в последний год жизни, — так называемую потерянную тетрадь. В ней содержались «фальшивые тэта-функции», о которых он писал Харди за три месяца до смерти и которых никто не понимал восемьдесят лет. Смысл им придали Цвегерс (2002) и затем Брингман с Оно: это голоморфные части гармонических форм Маасса. Сегодня они применяются в комбинаторике и в теории чёрных дыр.

Его серии для $\pi$ вида

$$\frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!\,(1103+26390k)}{(k!)^{4}\,396^{4k}}$$

дают по восемь верных знаков на слагаемое и легли в основу рекордных вычислений числа $\pi$ в 1980-е.

Тетради Рамануджана разбирали до 1997 года; итоговое издание с доказательствами составило пять томов.

Задача. Проверьте тождество $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots}}}}=3$, положив $f(n)=n(n+2)$ и убедившись, что $f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$. Затем найдите значение $\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{\cdots}}}}$ тем же приёмом.
(Ответ: 4; общее семейство — $f(n)=n(n+a+1)$ при подходящем сдвиге.)

Следующая точка: Христиания — где решето впервые за две тысячи лет начнёт давать теоремы, а не только списки.