Карта → событие
Адамар и Валле-Пуссен: теорема о распределении простых
Теорема
$$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},\qquad\text{точнее}\qquad \pi(x)\sim\mathrm{li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln t}.$$
Словами: доля простых среди чисел, близких к $x$, равна примерно $1/\ln x$. Около миллиарда простые встречаются примерно раз на двадцать одно число.
Разница между двумя формулировками не косметическая. Обе верны асимптотически, но $\mathrm{li}(x)$ приближает несравнимо лучше: при $x=10^{9}$ имеем $\pi(x)=50\,847\,534$, $\mathrm{li}(x)\approx50\,849\,235$ (ошибка 0,003 %), а $x/\ln x\approx48\,254\,942$ (ошибка 5 %). Правильную форму угадал Гаусс в пятнадцать лет.
Сто четыре года пути
| Год | Кто | Что |
|---|---|---|
| 1792 | ГауссКарл Фридрих Гаусс«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. | заметил закон по таблицам; не опубликовал |
| 1798 | ЛежандрАдриен Мари ЛежандрПервым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс. | опубликовал в виде $x/(\ln x-1{,}08366)$ |
| 1850 | Чебышёв | доказал, что отношение зажато между $0{,}92$ и $1{,}11$; и что если предел есть, то он равен 1 |
| 1859 | Риман | свёл вопрос к нулям $\zeta(s)$ и наметил всю стратегию |
| 1894 | фон Мангольдт | довёл риманову явную формулу до строгости |
| 1896 | Адамар (Бордо) и Валле-Пуссен (Лувен) | доказали |
Ключевой шаг
Из явной формулы РиманаБернхард РиманПрожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. видно, что поведение $\pi(x)$ управляется нулями $\zeta(s)$: нуль с вещественной частью $\beta$ даёт в $\psi(x)$ колебание амплитуды $x^{\beta}$. Главный член равен $x$. Значит, чтобы отклонение было мало по сравнению с $x$, достаточно, чтобы у всех нулей было $\beta<1$, — то есть чтобы
$$\zeta(1+it)\ne0\quad\text{при }t\ne0 .$$
Это и есть всё содержание теоремы: теорема о распределении простых чисел эквивалентна отсутствию нулей дзета-функции на границе критической полосы. (Гипотеза Римана — гораздо более сильное утверждение: что $\beta=\tfrac12$ ровно.)
Доказать это удалось так. Есть замечательное неравенство, чью роль трудно переоценить:
$$3+4\cos\theta+\cos2\theta=2\left(1+\cos\theta\right)^{2}\ \geqslant\ 0 .$$
(Проверить — раскрыть $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$.) Применив его к логарифму эйлерова произведения при $\theta=t\ln p$, получают
$$\left|\zeta(\sigma)^{3}\,\zeta(\sigma+it)^{4}\,\zeta(\sigma+2it)\right|\ \geqslant\ 1\qquad (\sigma>1).$$
Теперь предположим, что $\zeta(1+it)=0$. Тогда при $\sigma\to1^{+}$ второй множитель обращается в нуль как четвёртая степень, первый растёт как третья степень полюса, третий остаётся ограниченным — итого произведение стремится к нулю, вопреки неравенству. Противоречие.
Изящную короткую версию этого рассуждения дал Мертенс в 1898 году; она умещается на страницу и входит сегодня во все учебники. У самих Адамара и Валле-Пуссена доказательства были длиннее.
Вклад Адамара помимо этого шага. В 1893 году он построил теорию целых функций конечного порядка — теорему о разложении в произведение по нулям, — и построил её именно ради этой задачи: римановская функция $\xi(s)$ есть целая функция порядка 1, и без контроля над её нулями к делу не подступиться. То есть значительная часть комплексного анализа была создана как инструмент для одной теоремы о целых числах.
Два человека
Жак Адамар (1865–1963) в 1896 году был профессором университета Бордо. Он же тогда занимался делом Дрейфуса: Люси Дрейфус, жена осуждённого офицера, приходилась ему двоюродной (по некоторым источникам — троюродной) сестрой, и Адамар стал одним из самых деятельных дрейфусаров, убедив, среди прочих, математика и будущего премьер-министра Поля Пенлеве.
Дальнейшая его жизнь трагична: двое старших сыновей погибли на Первой мировой войне в 1916 году, младший — на Второй, в 1944-м; сам он в 1940-м бежал от нацистов в США. Ему принадлежат работы почти во всех областях анализа (корректность задач по Адамару, неравенство Адамара, матрицы Адамара) и знаменитое эссе «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945). Он прожил 98 лет.
Шарль-Жан де ла Валле-Пуссен (1866–1962) — профессор Католического университета Лувена в Бельгии, где проработал всю жизнь. Уже в 1899 году он улучшил результат, получив оценку остаточного члена:
$$\pi(x)=\mathrm{li}(x)+O\!\left(x\,e^{-c\sqrt{\ln x}}\right),$$
то есть не просто асимптотику, а скорость приближения. Он же доказал аналог теоремы для прогрессий Дирихле. Его двухтомный «Cours d'analyse infinitésimale» учил Европу анализу полвека. Он прожил 96 лет.
Отсутствие спора
Оба доказательства вышли в 1896 году, независимо, почти одновременно, и — редчайший случай на этой карте — никакого спора о приоритете не возникло. Оба признали работу друг друга; Адамар впоследствии подчёркивал, что доказательство Валле-Пуссена в некоторых отношениях полнее.
Контраст стоит запомнить. На той же линии полувеком позже Сельберг и Эрдёш, доказав ту же самую теорему заново элементарными средствами, поссорились навсегда. Одна теорема, два одновременных доказательства — и два прямо противоположных исхода.
Что было дальше
- 1948: элементарное доказательство (СельбергАтле СельбергВ оккупированной Норвегии в одиночку доказал, что положительная доля нулей дзета-функции лежит на критической прямой; потом получил элементарное доказательство теоремы о простых числах — и рассорился из-за…, ЭрдёшПал ЭрдёшПолторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом.) — без комплексного анализа, что считалось невозможным.
- 1958: область без нулей расширена (Коробов и ВиноградовИван Матвеевич ВиноградовПридумал метод тригонометрических сумм и доказал им тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел — впервые взяв аддитивную задачу о простых без всяких недоказанных гипотез. независимо) — лучшая известная до сих пор.
- 1980: Дональд Ньюман находит «короткое» доказательство через тауберову теорему; современное изложение занимает несколько страниц.
- Оценка остаточного члена эквивалентна гипотезе Римана в форме $\pi(x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt x\ln x)$ — и остаётся недоказанной.
А функция $\mathrm{li}(x)$ приготовила отдельный сюрприз. Все вычисления показывают $\pi(x)<\mathrm{li}(x)$, и Гаусс полагал, что так всегда. В 1914 году Литлвуд доказал, что разность бесконечно много раз меняет знак. Где происходит первая перемена, не известно до сих пор: первая оценка Скьюза (1933) давала чудовищное $10^{10^{10^{34}}}$, современные — величины порядка $10^{316}$, что всё равно недостижимо для перебора. Урок тот же, что в точке о Гольдбахе: проверка — не доказательство.
Задача. Оцените по теореме, сколько простых чисел содержится между $10^{6}$ и $10^{6}+1000$, и сравните с истинным ответом 75.
(Ответ: плотность около $1/\ln 10^{6}=1/13{,}8\approx0{,}0724$, значит около 72 простых. Погрешность в несколько процентов — обычное дело на коротких промежутках.)
Следующая точка: Мадрас — откуда придёт письмо от человека без образования, изменившее аналитическую теорию чисел.