Элементарное доказательство — и ссора

Что значит «элементарное»

Теорема о распределении простых чисел — $\pi(x)\sim x/\ln x$ — была доказана в 1896 году средствами теории функций комплексного переменного: через дзета-функцию Римана и доказательство того, что у неё нет нулей на прямой $\mathrm{Re}\,s=1$.

Возникал естественный вопрос: обязателен ли комплексный анализ? Утверждение-то про целые числа.

ХардиГодфри Харолд Хардибританский математик · 1877–1947Гордился тем, что не сделал ничего полезного, — и написал главную формулу популяционной генетики; главным своим вкладом в науку называл открытие Рамануджана. в 1921 году высказался определённо: он считал, что нет, необязателен — но что появление элементарного доказательства потребовало бы «переписать теорию простых чисел», настолько глубока связь между теоремой и поведением $\zeta(s)$. Это мнение цитировали десятилетиями как приговор.

Важно понимать, что «элементарное» здесь — термин, а не оценка. Элементарным называют доказательство, не использующее комплексного анализа; оно может быть (и в данном случае оказалось) существенно труднее аналитического. Оба доказательства 1948 года занимают больше места и требуют большей изобретательности, чем работы АдамараЖак Адамарфранцузский математик · 1865–1963Доказал теорему о распределении простых чисел — одновременно и независимо с Валле-Пуссеном, без единого слова спора о приоритете. Прожил девяносто семь лет и написал книгу о том, как математики думают. и Валле-ПуссенаШарль Жан де ла Валле-Пуссенбельгийский математик · 1866–1962Доказал теорему о распределении простых чисел одновременно с Адамаром и независимо от него, а через три года первым получил оценку остаточного члена — то есть не только «сколько», но и «с какой точностью»..

Что произошло

Атле Сельберг (1917–2007), норвежец, работавший в Институте перспективных исследований в Принстоне, получил в начале 1948 года формулу, ставшую ключом:

$$\sum_{p\leqslant x}\ln^{2}p+\sum_{pq\leqslant x}\ln p\,\ln q=2x\ln x+O(x).$$

Она называется формулой Сельберга и замечательна тем, что доказывается элементарно, а по силе близка к самой теореме: в ней уже сидит «в среднем» правильная плотность простых. Но извлечь из неё асимптотику Сельберг сразу не сумел.

В марте 1948 года он рассказал о формуле Палу ЭрдёшуПал Эрдёшвенгерский математик · 1913–1996Полторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом. (1913–1996), тогда тоже находившемуся в Принстоне. Эрдёш через несколько дней вывел из неё, что $p_{n+1}/p_n\to1$ (отношение соседних простых стремится к единице), а затем, в течение примерно двух недель, — и полное элементарное доказательство теоремы. Сельберг, узнав об этом, за сутки нашёл собственный, более прямой вывод.

Дальше начинается спор.

Спор

Эрдёш предложил публиковаться совместно и, по своему обыкновению, немедленно разослал открытки коллегам с известием о результате — для него математика была общим делом, и о приоритете он думал мало.

Сельберг воспринял это иначе. Формула была его; он считал, что ключевой вклад — формула, а не последний шаг, и что рассылка открыток лишила его возможности объявить результат самому. Он настаивал на раздельной публикации.

В итоге в 1949 году в «Annals of Mathematics» вышла статья Сельберга, а в «Proceedings of the National Academy of Sciences» — статья Эрдёша, ссылающаяся на формулу Сельберга. Единой работы не получилось.

Итоги. Сельберг получил Филдсовскую медаль в 1950 году — за элементарное доказательство и за результат о нулях дзета-функции на критической прямой. Эрдёш получил премию Коула в 1951-м. Отношения между ними не восстановились до конца жизни.

Оценивать эту историю удобно так: оба были правы в фактах и оба неправы в поведении. Формула действительно принадлежит Сельбергу и действительно была главным содержательным шагом. Вывод асимптотики из формулы действительно принадлежит Эрдёшу и действительно не был очевиден. При этом Эрдёш нарушил неписаное правило не объявлять о чужом незаконченном результате, а Сельберг отказался от совместной работы, которая была бы честнее всего.

В коллекции приоритетных сюжетов этой карты — Ньютон и Лейбниц, Эйнштейн и Гильберт, Понселе и Жергонн — эта история самая горькая именно потому, что в ней не было ни воровства, ни обмана: два безупречно честных человека не сумели договориться.

Отдельно стоит помнить контраст с Адамаром и Валле-Пуссеном: те доказали ту же теорему одновременно, независимо, — и разошлись без единого слова спора.

Что осталось в математике

Помимо самой теоремы, из этой точки вышли:

• формула Сельберга — рабочий инструмент элементарных методов до сих пор;
• решето Сельберга — оптимальная квадратичная форма решета, на которой стоят все современные оценки (см. большое решето);
• след-формула Сельберга (1956) — соотношение между спектром оператора ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. на поверхности и длинами замкнутых геодезических; аналог формулы Римана, где вместо простых чисел стоят геодезические. Из неё выросла целая область на стыке теории чисел, геометрии и квантового хаоса.

А про Эрдёша стоит сказать, что он опубликовал около 1500 работ с 500 с лишним соавторами, не имел дома и постоянной должности, ездил по миру с двумя чемоданами и работал в гостях; в дискретной линии он появляется как изобретатель вероятностного метода.

Задача. Из формулы Сельберга выведите слабое следствие: $\pi(x)\asymp x/\ln x$ (то есть оценки ЧебышёваПафнутий Львович Чебышёврусский математик и механик · 1821–1894Основал петербургскую математическую школу, дал первые строгие оценки в законе распределения простых чисел и построил около сорока механизмов, включая шагающую машину.). (Указание: в левой части формулы первое слагаемое есть $\vartheta$-подобная сумма, второе неотрицательно; отсюда сразу верхняя оценка. Нижняя требует чуть большей аккуратности.)

Следующая точка: Токио — где свяжут два мира, между которыми, казалось, нет ничего общего.