Понселе: проективная геометрия, восстановленная по памяти

Как он туда попал

Жан-Виктор Понселе (1788–1867), выпускник Политехнической школы, ученик Монжа, — лейтенант инженерных войск в русском походе Наполеона.

18 ноября 1812 года, в последний день сражения под Красным, под ним убивают лошадь, самого его ранят и оставляют на поле как убитого. Подобран русскими солдатами. Дальше — пеший переход через зимние равнины, продолжавшийся почти пять месяцев, и Саратов, где он содержался с апреля 1813 по июнь 1814 года.

По собственному свидетельству, первое время он был слишком истощён, чтобы думать. С приходом весны решил использовать время так: восстанавливать по памяти всё, чему учился в Политехнической школе. Книг у него не было ни одной.

Не имея возможности воспроизвести аналитические выкладки — они требуют справочников и аккуратности, — он пошёл синтетическим путём, чисто геометрическим. Записи получили название «Саратовские тетради» (семь тетрадей; полностью изданы лишь в 1862 году). О существовании работ ДезаргаЖерар Дезаргфранцузский математик, инженер и архитектор · 1591–1661Постулировал, что параллельные прямые пересекаются, — и получил геометрию без исключений и без длин. Тираж в полсотни экземпляров разошёлся по друзьям, и дисциплина умерла на сто семьдесят четыре года. он не подозревал: «Brouillon project» к тому времени был утрачен и найден будет только через тридцать один год.

Освобождён по Парижскому мирному договору; во Францию добрался к сентябрю 1814-го, с 1815 года преподавал в Меце.

«Traité des propriétés projectives des figures» — «Трактат о проективных свойствах фигур», Мец — Париж, 1822.

Что в этой книге

1. Принцип непрерывности. Если утверждение верно для одной конфигурации, оно остаётся верным при непрерывной деформации — даже когда точки пересечения «уходят в мнимую область». Строгости здесь нет, и КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. это прямо ставил в упрёк; но эвристическая мощь принципа огромна, и он предвосхищает то, как работают с алгебраическими многообразиями сегодня.

2. Мнимые элементы. Понселе всерьёз вводит мнимые точки пересечения и циклические точки — две мнимые точки на бесконечно удалённой прямой, через которые проходит всякая окружность. В однородных координатах это $(1:\pm i:0)$: подставьте их в уравнение любой окружности $x^2+y^2+2gxz+2fyz+cz^2=0$, и оно обратится в нуль.

Следствие эффектное: по теореме Безу две коники имеют четыре общие точки, и для двух окружностей две из них — всегда циклические. Вот почему у окружностей «всего две» видимых точки пересечения: остальные две у них общие изначально.

3. Полюс, поляра и принцип двойственности.

В проективной плоскости всякое верное утверждение остаётся верным при замене слов «точка» ↔ «прямая», «лежит на» ↔ «проходит через».

Каждая теорема автоматически даёт вторую. Двойственная к теореме ПаскаляБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. — теорема Брианшона (о шестиугольнике, описанном около коники); теорема Дезарга самодвойственна — потому и выглядит так симметрично.

Приоритет двойственности Понселе оспаривал у Жергонна; спор был долгим и злым. Сегодня считают, что оба пришли к принципу независимо: Понселе — через полярное соответствие относительно коники, Жергонн — как к формальному правилу перестановки слов.

4. Теорема Понселе о замыкании. Одна из красивейших в геометрии.

Если существует $n$-угольник, вписанный в одну конику и описанный около другой, то таких многоугольников бесконечно много: начав с любой точки внешней коники и ведя касательные ко внутренней, вы замкнёте ломаную ровно за те же $n$ шагов.

Утверждение выглядит невероятным: замыкание — свойство пары коник, а не выбранной начальной точки. Современные доказательства проводят через эллиптические кривые: обход соответствует сдвигу на фиксированный элемент группы точек кривой, и порядок этого элемента и есть $n$.

Достройка дисциплины

• МёбиусАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… (1827) вводит однородные координаты; Плюккер (1830-е) — координаты прямых и алгебраическую проективную геометрию.
• Штейнер (1832) строит синтетическую школу, принципиально отвергавшую вычисления.
• Карл фон Штаудт (1847) решает главную концептуальную проблему. До него двойное отношение определялось через длины, то есть проективная геометрия тайно опиралась на метрическую. Штаудт строит «алгебру бросков», позволяющую ввести координаты чисто проективно, — и только после этого дисциплина становится самостоятельной.
• КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы. (1859) вводит проективную метрику через мнимые циклические точки Понселе; КлейнФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. (1871–72) на её основе строит модели неевклидовых геометрий и формулирует Эрлангенскую программу.

Что даёт эта точка линии

Во-первых, Эрланген перестаёт висеть в воздухе. Двойное отношение, абсолют, фраза Кэли «проективная геометрия есть вся геометрия» — всё получает предысторию.

Во-вторых, модель Бельтрами — Клейна читается иначе. Круг, хорды, расстояние через двойное отношение — это чистая проективная конструкция. Понимание этого превращает её из фокуса в естественную вещь.

В-третьих, современность. Проективная геометрия — рабочий язык компьютерного зрения: однородные координаты и гомографии суть то, чем склеивают панорамы, калибруют камеры и восстанавливают трёхмерную сцену по снимкам. А конечные проективные плоскости — предмет комбинаторики: вопрос о существовании плоскости порядка 10 был закрыт отрицательно машинным перебором в 1989 году.

В-четвёртых, сюжет. На карте истории математики Саратов появляется ровно один раз — и появляется потому, что человек, у которого отняли книги, обнаружил, что геометрию можно построить заново из головы. Это лучший из известных мне аргументов в пользу того, что математика не запоминается, а понимается.

Задача. Проверьте, что точки $(1:i:0)$ и $(1:-i:0)$ лежат на всякой окружности. (Указание: однородное уравнение окружности имеет вид $x^{2}+y^{2}+2gxz+2fyz+cz^{2}=0$; подставьте $z=0$, $x=1$, $y=\pm i$.) Объясните, почему у двух концентрических окружностей вещественных общих точек нет вовсе, а всего их по-прежнему четыре.

Следующая точка: Казань — где через двенадцать лет зададут вопрос не о том, как проектировать пространство, а о том, каково оно на самом деле.