Монж: начертательная геометрия под грифом

Задача под грифом

Гаспар Монж (1746–1818), сын торговца, поступил в Мезьерскую военно-инженерную школу в 1765 году — и узнал, что учиться будет не с офицерами, а на отделении чертёжников: происхождение не позволяло большего.

Ему поручили расчёт дефилирования (défilement) — задачу о том, как расположить гребни укрепления, чтобы внутренность была укрыта от огня с окрестных высот. Штатный метод был арифметическим, требовал многих часов и давался немногим.

Монж решил задачу графически — проектированием на две взаимно перпендикулярные плоскости — и получил ответ так быстро, что комендант отказался ему верить и потребовал проверки. Проверка подтвердила; метод объявили военной тайной, а Монжа перевели в преподаватели.

Гриф сняли только после революции. 9 ноября 1794 года Монж начал читать курс в новооткрытой Школе общественных работ (через год переименованной в Политехническую), а в начале 1795-го — публичные лекции в Нормальной школе. Тогда же вышла «Géométrie descriptive».

Что такое эпюр Монжа

Идея проста и до сих пор составляет основу инженерного черчения.

Возьмём две перпендикулярные плоскости — горизонтальную и фронтальную. Пространственный объект проектируется ортогонально на обе; затем горизонтальная плоскость поворачивается вокруг линии их пересечения до совмещения с фронтальной. Получаются два плоских чертежа, однозначно задающие трёхмерный объект.

Существенно вот что: по паре проекций восстанавливается всё — расстояния, углы, пересечения, — и восстанавливается построениями на плоскости, без вычислений. Задача трёхмерной геометрии сводится к задаче двумерной.

Это ровно противоположно по духу подходу Декарта: тот сводил геометрию к вычислению, Монж — вычисление к геометрии. Обе программы понадобились.

Дифференциальная геометрия

Монжа помнят как автора чертёжного метода, и это несправедливо: «Application de l'analyse à la géométrie» (1795, много раз переиздана) — самостоятельный вклад в теорию поверхностей.

Линии кривизны. В каждой точке поверхности есть два главных направления — те самые, что нашёл Эйлер. Проинтегрируем их: получатся два семейства кривых на поверхности, всюду взаимно ортогональных, — линии кривизны. Монж вычислил их для эллипсоида и обнаружил, что картина устроена красиво и нетривиально: линии кривизны эллипсоида — кривые четвёртого порядка, а четыре точки, где семейства вырождаются, — омбилические, в них главные кривизны совпадают и направления не определены.

Огибающие и характеристики. Монж связал геометрию семейств поверхностей с уравнениями в частных производных: решение уравнения первого порядка строится как огибающая семейства, а характеристики — кривые, вдоль которых уравнение вырождается в обыкновенное. Термин «характеристика» и метод характеристик идут отсюда; сегодня без них не обходится ни один курс уравнений математической физики.

Задача о выемках и насыпях (déblais et remblais, 1781). Дана куча грунта и яма равного объёма; как перевозить грунт, чтобы суммарная работа была наименьшей? Монж угадал, что оптимальные траектории не пересекаются, и описал их геометрию. Строгая постановка и решение придут через 161 год: это задача оптимального переноса, которую в 1942 году переформулирует и решит Канторович. Сегодня «расстояние Монжа — КанторовичаЛеонид Витальевич Канторовичсоветский математик и экономист · 1912–1986Из фанерного треста пришла задача о раскрое — и из неё вышло линейное программирование, теория оптимального транспорта и единственная советская Нобелевская премия по экономике.» — рабочий инструмент от статистики до машинного обучения.

Школа

Значение Монжа для карты не исчерпывается теоремами. Он создал институт.

Политехническая школа задумывалась как двухлетний общенаучный фундамент перед специализацией — модель, которую потом скопировал весь мир. Преподавали ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней., ЛапласПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего., ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться., Монж; учились Понселе, КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., Шаль, ЛиувилльЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их., Френель, Араго. Пытался поступить и дважды провалил экзамен Галуа.

Монж был близок к Наполеону, ездил с ним в Египетский поход, стал сенатором и графом Пелузским — и после реставрации Бурбонов был изгнан из Академии, лишён званий и умер в опале. На похоронах, вопреки запрету, присутствовали студенты Политехнической школы в полном составе.

Прямое следствие для этой линии: ученик Монжа Понселе, оказавшись в саратовском плену без книг, восстанавливал по памяти именно синтетическую геометрию учителя — и из неё вырастил проективную.

Задача. Докажите «теорему Монжа о трёх окружностях»: для трёх попарно непересекающихся окружностей разных радиусов три точки пересечения пар внешних касательных лежат на одной прямой.
(Указание — доказательство Монжа, и оно в духе всей точки: поднимите окружности до сфер в пространстве. Внешние касательные к паре окружностей — след общего конуса, а все три конуса касаются одновременно двух плоскостей, проходящих над и под сферами. Искомая прямая — линия пересечения этих плоскостей.)

Следующая точка: Дерпт — где сойдутся два ученика, изменившие геометрию, и родится вопрос без ответа.