Лежандр: учебник, вытеснивший Евклида

Вторая точка про одного человека

Адриен Мари Лежандр уже есть на карте: точка 1782 года рассказывает, как из задачи о притяжении сфероида у него получились многочлены, названные его именем, и там же — его биография.

Здесь речь о другой его книге, и по влиянию она несопоставимо больше. Многочлены Лежандра знают студенты. По «Началам геометрии» Лежандра училась половина мира.

Зачем понадобился новый учебник

1794 год, второй год Республики. Старая система образования разрушена вместе со старым режимом: университеты закрыты, коллежи при монастырях распущены. Взамен создаются Политехническая школа и Нормальная школа, и им немедленно нужны учебники — новые, светские, написанные по-французски.

Заказ этот получают лучшие математики страны, и Лежандр пишет «Éléments de géométrie».

Что он сделал с Евклидом

Формально это переложение «Начал». По существу — другая книга, и различия принципиальны.

Другой порядок. Евклид излагает материал так, как он логически нарастает от постулатов. Лежандр свободно переставляет предложения, объединяет, разбивает и переносит, чтобы читателю было понятнее. Логика перестала быть хозяином изложения и стала его слугой.

Тригонометрия внутри. У Евклида её нет вовсе; Лежандр добавляет отдельный раздел, потому что без неё выпускник не сможет ничего посчитать.

Никакой теории отношений. Пятая книга «Начал», теория величин Евдокса, выброшена целиком и заменена обыкновенной арифметикой пропорций.

Вот это последнее — самое важное, и стоит сказать прямо.

Число вернулось в геометрию

Мы уже видели, что у Евклида площадь — не число. Он не умножает длину на длину; вместо произведения у него «прямоугольник, заключённый между отрезками», а сравниваются фигуры, а не величины. Так было устроено, чтобы обойти несоизмеримость: для отношения диагонали к стороне числа у греков не было.

Лежандр возвращает число. У него площадь прямоугольника равна произведению сторон, отрезки складывают и умножают, а пропорции считают арифметически.

Ценой стала строгость. Утверждение «площадь прямоугольника равна $ab$» очевидно, пока $a$ и $b$ целые: разбейте прямоугольник на единичные квадратики и сосчитайте. Для рациональных сторон ещё проходит. А для несоизмеримых — уже нет, и требуется предельный переход, о котором учебник умалчивает.

Ровно этой дыры избегал Евдокс, и ровно её будут заделывать в XIX веке Дедекинд и Вейерштрасс. Школьный учебник и сегодня устроен по Лежандру: число введено без объяснений, потому что иначе восьмикласснику не объяснить ничего.

Две традиции

Книга имела успех, какого в математике почти не бывает: около двадцати изданий при жизни автора, переводы на все европейские языки. В Америке перевод сделал гарвардский профессор Джон Фаррар (1819), потом его переработал Чарльз Дэвис — и по «Лежандру» училась вся школа Соединённых Штатов весь XIX век.

А Британия не сдвинулась. Там продолжали учить по изданию Евклида, которое подготовил Симсон, и спор «Евклид или не Евклид» тянулся до начала XX века: в 1871 году в Англии даже основали Ассоциацию по улучшению преподавания геометрии, единственной целью которой было вытеснить Евклида из школы.

Получилась развилка, которую полезно видеть учителю: один и тот же предмет можно преподавать двумя несовместимыми способами, и оба работают. Франция и США выбрали удобство, Британия — строгость. Российская школа, когда до неё дойдёт очередь, выберет третье.

То, чего он так и не доказал

И последняя ирония.

Человек, вытеснивший Евклида из классной комнаты, всю жизнь пытался доделать за Евклида одну-единственную недоделку. С 1794 по 1833 год Лежандр печатал в переизданиях своей книги одну попытку доказательства пятого постулата за другой — насчитывают около двенадцати, — и каждый раз сам находил у себя ошибку. Подробно эта история рассказана в точке о Саккери; там же — верная и важная теорема, которая при этом у него получилась.

Он умер в 1833 году, за семь лет до того, как в Казани объяснят, почему доказательства не существует.

Следующая точка: Париж — где у отрезка появится знак, и теоремы Менелая и Чевы наконец перестанут требовать перебора случаев.