Карно: у отрезка появляется знак

Организатор победы

Лазар Карно (1753–1823) — фигура, которую в учебнике геометрии не ждёшь.

Военный инженер, выпускник Мезьерской школы, где его учил МонжГаспар Монжфранцузский математик, государственный деятель · 1746–1818Восемнадцатилетним решил чертежом за часы задачу, на которую уходили сутки арифметики, — и метод немедленно засекретили. Основал Политехническую школу, из которой вышла вся французская математика XIX века.. Член Комитета общественного спасенияорган, фактически правивший Францией в 1793–1794 годах: одиннадцать человек, отвечавших разом за войну, продовольствие и террор — единственный, кому после Термидора не предъявили обвинений: он занимался армиями, а не казнями. За то, что революционная Франция выстояла против всей Европы, его прозвали «организатором победы». Позже военный министр Наполеона, потом его противник; после Ста дней изгнан и умер в Магдебурге.

Математикой он занимался всю жизнь урывками, и всё, что написал, — про основания. В 1797 году вышли «Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых», где он пытался объяснить, почему анализ даёт верные ответы, оперируя величинами, которые то равны нулю, то нет. Его ответ — «компенсация ошибок» — не выдержал критики, но вопрос был задан правильно, и через сорок лет на него ответит Коши.

А в 1803 году вышла «Géométrie de position».

Что мешало геометрии

Возьмите теорему Менелая. Прямая пересекает стороны треугольника — и произведение трёх отношений равно единице.

Теперь спросите: а где именно пересекает? Прямая либо режет одну сторону и продолжения двух других, либо продолжения всех трёх. Два случая, и чертёж в каждом свой.

Возьмите теорему Чевы: точка пересечения чевиан бывает внутри треугольника, а бывает и снаружи. Опять два случая.

Возьмите высоты: у остроугольного треугольника основания высот лежат на сторонах, у тупоугольного — на продолжениях. Снова разбор.

Так было устроено всё. Каждая теорема сопровождалась перечнем расположений, и в каждом расположении доказательство приходилось вести заново. Учебники распухали, а общая мысль тонула в частностях.

Отрезок со знаком

Карно предлагает соглашение, которое сегодня кажется очевидным.

На прямой выбирается направление. После этого отрезок $AB$ считается величиной со знаком, и

$$AB = -BA .$$

Отношение $\dfrac{AX}{XB}$ становится положительным, если $X$ лежит между $A$ и $B$, и отрицательным, если снаружи.

Всё. Дальше происходит вот что.

Теорема Менелая в знаковой записи выглядит так:

$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1,$$

а теорема Чевы — так:

$$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=+1.$$

И разбора случаев больше нет. Один знак отличает утверждение о точках на прямой от утверждения о прямых через точку. Двойственность, которую Чева использовал не называя, стала видна в записи.

Теорема Карно, где знак виден невооружённым глазом

Есть у него теорема, на которой это лучше всего показывать.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника, а $d_a$, $d_b$, $d_c$ — расстояния от $O$ до сторон. Тогда
$$d_a+d_b+d_c = R+r .$$

Проверьте на равностороннем треугольнике со стороной $a$: все три расстояния равны $r=\dfrac{a}{2\sqrt3}$, сумма равна $\dfrac{a\sqrt3}{2}$; а $R+r=\dfrac{a}{\sqrt3}+\dfrac{a}{2\sqrt3}$ — то же самое.

А теперь возьмите тупоугольный треугольник. Центр описанной окружности уходит за наибольшую сторону, и расстояние до неё надо считать отрицательным — иначе равенство ломается.

Вот ради чего всё затевалось: без знака теорема верна для острых углов и неверна для тупых, а со знаком — верна всегда, и доказательство одно.

Два Карно

Фамилия эта в науке встречается дважды, и путают их постоянно.

Лазар Карно — геометр, о котором эта точка. Его сын Сади Карно (1796–1832) — автор «Размышлений о движущей силе огня» (1824), с которых начинается термодинамика; цикл Карно и вторая её начало — его. Внук Лазара, тоже Сади, был президентом Французской республики и погиб от руки анархиста.

Отец назвал сына в честь персидского поэта Саади. К геометрии тот отношения не имел.

Следующая точка: Саратов — где пленный офицер без единой книги восстановит по памяти всю известную ему геометрию и построит из неё новую.