Менелай: полный четырёхсторонник

Одна дата, и та из чужой книги

О Менелае Александрийском известно ровно столько: в «Альмагесте» Птолемей приводит два его наблюдения покрытий звёзд ЛунойЛуна проходит перед звездой и закрывает её; звезда гаснет мгновенно, и потому момент можно отметить точно — в античности это был один из немногих способов надёжно засечь время наблюдения — сделанных в Риме в первый год правления Траяна, то есть в 98 году. Отсюда и датировка этой точки, и её место на карте.

Прозвище «Александрийский» при этом за ним закрепилось: видимо, там он учился или работал прежде. Но единственная твёрдая точка его биографии — римская, и потому эта статья стоит в Риме. До неё на карте не было ни одной римской точки, и это само по себе показательно: Рим блестяще строил дороги и акведуки и не дал математике почти ничего.

«Сферика»

Главное сочинение Менелая — «Сферика» в трёх книгах. Греческий текст утрачен целиком; книга дошла по-арабски, в переводах и переработках IX–XI веков, а по-настоящему её издали только в 1758 году — это сделал Эдмонд Галлей, тот самый.

Первая книга начинается с вещи, которой до Менелая не было: он определяет сферический треугольник — фигуру на сфере, ограниченную дугами больших кругов, — и рассматривает его как самостоятельный объект, а не как след пересечения плоскостей.

Дальше он строит для него теорию по образцу первой книги «Начал»: признаки равенства, неравенство треугольника, соотношения между сторонами и углами. И получает два утверждения, которые для плоскости попросту ложны:

• сумма углов сферического треугольника больше $180^\circ$;
• если у двух сферических треугольников соответственно равны все три угла, то треугольники равны.

Второе стоит перечитать. На сфере нет подобия: нельзя увеличить треугольник, сохранив форму. Размер определяется углами однозначно.

Античность не сделала из этого никаких выводов — сфера считалась поверхностью внутри обычного пространства, а не другой геометрией. Но отметим на будущее: отсутствие подобных фигур окажется отличительной чертой и геометрии Лобачевского тоже. Признак «равенство по трём углам» — это то, чем неевклидовы геометрии отличаются от евклидовой, и первым его записал римский наблюдатель звёзд в 98 году, ничего такого в виду не имея.

Теорема Менелая

Плоский вариант нужен Менелаю как вспомогательный — как лемма к сферическому. Ирония в том, что помнят именно его.

Пусть прямая пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$, содержащие стороны треугольника $ABC$, в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Тогда
$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1.$$

Верно и обратное: если для трёх точек на сторонах произведение равно единице и число точек на продолжениях сторон нечётно, точки лежат на одной прямой.

Оговорка про «нечётное число» — не придирка, а слабое место формулировки. Прямая пересекает стороны треугольника либо в одной точке и двух продолжениях, либо в трёх продолжениях; произведение неориентированных отношений в обоих случаях равно единице, и отличить одно от другого формула не умеет. Лечится это тем, что отрезкам приписывают знак: тогда произведение равно $-1$, и разбор случаев исчезает. Но знак у отрезка появится только в 1803 году, и до тех пор каждый автор будет объясняться отдельно.

Доказательство в четыре строки

Опустим из вершин $A$, $B$, $C$ перпендикуляры на секущую прямую; обозначим их длины $p$, $q$, $r$.

Треугольники, отсекаемые секущей, попарно подобны — у них по прямому углу и по паре вертикальных углов. Отсюда сразу:

$$\frac{AF}{FB}=\frac{p}{q},\qquad \frac{BD}{DC}=\frac{q}{r},\qquad \frac{CE}{EA}=\frac{r}{p}.$$

Перемножим — всё сократится. $\blacksquare$

Правило шести величин

Ради чего всё затевалось — это сферический вариант, который арабские авторы называли правилом шести величин, а латинские — regula sex quantitatum:

$$\frac{\sin AE}{\sin EB}=\frac{\sin AF}{\sin FD}\cdot\frac{\sin DC}{\sin CB},$$

где вместо отрезков стоят дуги, а вместо их длин — синусы (у самого Менелая, разумеется, хорды).

Полторы тысячи лет это была главная счётная формула астрономии. Любая задача о положении светила сводилась к тому, чтобы удачно провести дуги, получить менелаеву конфигурацию и подставить шесть величин, из которых пять известны.

Неудобство её очевидно: нужно каждый раз изобретать вспомогательное построение. Избавление придёт в X веке, когда появится теорема синусов для сферического треугольника, — и на карте это уже рассказано. После этого теорема Менелая из рабочего инструмента превращается в изящный факт школьной планиметрии, каковым и остаётся.

Полный четырёхсторонник

Конфигурация, с которой Менелай работает, называется полным четырёхсторонником: четыре прямые общего положения. Они дают шесть точек попарного пересечения, которые разбиваются на три пары «противоположных», и отрезки, соединяющие эти пары, называются диагоналями.

Фигура окажется на удивление плодовитой. Из неё выйдет теорема Менелая; из неё же — результат, который заметит ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. в 1810 году: середины трёх диагоналей полного четырёхсторонника лежат на одной прямой. Её так и называют — прямая Гаусса.

А двойственная к теореме Менелая теорема — про три прямые, проходящие через одну точку, — появится только в 1678 году, через шестнадцать веков. В школьной программе они стоят рядом, на одной странице, и ничто не выдаёт, что между ними лежит вся история Европы.

Следующая точка: Александрия — где из теоремы о вписанном четырёхугольнике выведут формулы, которые школьник учит наизусть в десятом классе.