Герон: формула площади и чужой приоритет

Инженер, а не геометр

Герон Александрийский — фигура для истории математики нетипичная: прежде всего он изобретатель.

Ему принадлежат эолипил — шар, вращающийся силой вырывающегося пара, то есть первая паровая машина, оставшаяся игрушкой; автоматические двери храма, открывающиеся, когда на алтаре разводят огонь; автомат, выдающий порцию священной воды за брошенную монету, — первый торговый автомат в истории; одометр для измерения пройденного пути; и механический театр, разыгрывающий десятиминутное представление на верёвках и падающих грузиках.

Когда он жил, долго не знали: разброс оценок доходил до трёх веков. Вопрос закрыл Отто Нойгебауэр в 1938 году. В сочинении «Диоптра»диоптра — античный угломерный прибор, предок теодолита; книга Герона описывает и сам прибор, и землемерные задачи, которые им решают Герон разбирает, как определить разность долгот двух городов, и берёт в качестве примера конкретное лунное затмение, наблюдавшееся в Александрии и в Риме. Затмение с такими характеристиками одно — 13 марта 62 года. Значит, Герон писал после него.

Книга, найденная в 1896 году

Формула площади стоит в «Метрике», и до самого конца XIX века этой книги никто не видел: её знали по пересказам и по родственному тексту «Диоптры». Рукопись «Метрики» обнаружил в Константинополе в 1896 году Рихард Шёне.

Формула

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ равна
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Что здесь на самом деле удивительно — не вид формулы, а её состав: площадь выражена через одни стороны. Ни высоты, ни угла, ни какого-либо дополнительного построения не требуется.

Для треугольника это возможно потому, что три стороны определяют его однозначно — это третий признак равенства. Для четырёхугольника такого равенства уже нет: из четырёх заданных сторон можно сложить сколько угодно разных четырёхугольников с разными площадями (возьмите шарнирную рамку и подвигайте её). Формулы площади по четырём сторонам поэтому не существует.

Но стоит потребовать, чтобы четырёхугольник был вписанным, — и свобода исчезает, а формула появляется. Её нашёл БрахмагуптаБрахмагуптаиндийский математик и астроном · 598 — около 668Первым в мире записал правила действий с нулём и отрицательными числами — как с законными числами, а не как с недоразумением; ошибся только в делении на нуль, и ошибку эту исправляли тысячу лет., и она устроена так похоже, что вторую трудно не угадать по первой:

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

При $d = 0$ вписанный четырёхугольник вырождается в треугольник, и формула Брахмагупты превращается в формулу Герона.

Чужой приоритет

Аль-Бируниаль-Бирунихорезмийский учёный-энциклопедист · 973–1048Измерил радиус Земли с одной горы и одного угломера, ошибившись меньше чем на полпроцента, — методом, для которого не нужна экспедиция через полстраны, как у Эратосфена. сообщает, что формула была известна АрхимедуАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. — в сочинении, до нас не дошедшем. Это тот же свидетель и тот же обвиняемый, что и в деле о теореме про ломаную: аль-Бируни дважды выступает за Архимеда против позднейших имён.

Герону при этом досталось не так уж мало: доказательство в «Метрике» — его, изложение — его, и учебник, по которому формулу читали, тоже его. Имена в математике достаются не первооткрывателю, а тому, чья книга оказалась под рукой.

Как он считал квадратный корень

В «Метрике» Герон разбирает треугольник со сторонами $7$, $8$, $9$. Тогда $p = 12$ и

$$S=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}.$$

Дальше начинается самое интересное — потому что $\sqrt{720}$ надо ещё вычислить. Герон рассуждает так: $27^2 = 729$, число близкое, возьмём 27 за первое приближение. Затем

$$\frac{1}{2}\left(27+\frac{720}{27}\right)=\frac{1}{2}\left(27+26\tfrac{2}{3}\right)=26\tfrac{5}{6}.$$

И добавляет: если нужно точнее, повторите то же самое ещё раз.

Это метод Герона извлечения корня:

$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Проверьте, что он даёт: $26\tfrac{5}{6} = 26{,}8333\ldots$, а $\sqrt{720}=26{,}8328\ldots$ — четыре верных знака за один шаг от грубой прикидки.

А теперь посмотрите на формулу ещё раз. Это метод Ньютона для уравнения $x^2-a=0$, выписанный за шестнадцать веков до Ньютона. Число верных знаков при каждом шаге удваивается, и потому уже третье приближение точнее, чем нужно любому землемеру.

Задача о водопое

Есть у Герона и результат, который в школе проходят, не называя его имени.

В «Катоптрике» он доказывает, что при отражении свет идёт кратчайшим путём, — и выводит отсюда равенство угла падения углу отражения. Приём — тот самый, что применяют в задаче о водопое: отразить точку относительно прямой и соединить отражение с целью прямой линией.

Через шестнадцать веков ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. заменит «кратчайший путь» на «кратчайшее время» — и та же идея даст уже не отражение, а преломление, где скорости в двух средах разные. Из принципа Герона вырастет вся оптика, а следом и вариационное исчисление.

Следующая точка: Рим — где грек-астроном запишет соотношение, которое полторы тысячи лет будет главным счётным орудием всей астрономии.