Брахмагупта

Отрицательные числа в Европе считали «ложными» ещё в XVI веке, а нуль — не числом, а знаком пустоты. В Индии VII века всё это уже было арифметикой.

Удджайн

Родился в 598 году, работал в Бхинмале в Раджастхане, потом возглавлял обсерваторию в Удджайне — главном астрономическом центре Индии. Основные сочинения — «Брахмаспхутасиддханта» (628) и «Кхандакхадьяка» (665); написаны они, как было принято, стихами, что не мешало им содержать точные правила.

Астрономом он был воинственным: спорил с Ариабхатой о вращении Земли (Ариабхата считал, что она вращается, Брахмагупта отвергал это), но методы его использовал.

Нуль и долги

В восемнадцатой главе «Брахмаспхутасиддханты» впервые в истории выписаны правила действий с нулём и отрицательными числами. Терминология торговая: «имущество» — положительное, «долг» — отрицательное, «ничто» — нуль.

• долг минус ничто есть долг; имущество минус ничто есть имущество;
• произведение двух долгов есть имущество, произведение долга и имущества — долг;
• ничто, умноженное на что угодно, есть ничто;
• сумма долга и равного ему имущества есть ничто.

Всё это верно и сегодня, слово в слово. Существенно здесь не удобство записи, а признание: отрицательное число — число, с ним считают по правилам, а не толкуют как «недостачу», подлежащую устранению.

Единственное место, где он ошибся, — деление. Брахмагупта считал, что $0/0 = 0$, а насчёт деления ненулевого на нуль высказывался неопределённо. Ошибку повторяли долго; окончательно вопрос закрылся только с появлением строгого понятия предела, то есть в XIX веке.

Уравнения

Ему принадлежит общее решение квадратного уравнения — впервые с явным допущением отрицательных коэффициентов и с указанием обоих корней. Есть у него и правило для неопределённых уравнений первой степени, и — главное — тождество, носящее его имя:

$$(a^{2}-Nb^{2})(c^{2}-Nd^{2}) = (ac+Nbd)^{2} - N(ad+bc)^{2}.$$

Из него следует композиция: два решения уравнения $x^{2}-Ny^{2}=k$ дают третье. Это первый шаг к тому, что Европа по недоразумению назовёт уравнением Пелля; индийская школа доведёт метод до конца (чакравала Бхаскары II) за пятьсот лет до Европы.

Геометрия

Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника:

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$$

где $p$ — полупериметр. При $d=0$ она превращается в формулу Герона для треугольника — редкий случай, когда обобщение красивее исходного.

Есть у него и теорема о перпендикулярах в четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями, и приближение $\pi \approx \sqrt{10}$ как «точное» значение против «практического» 3.

Как это дошло до нас

Около 770 года «Брахмаспхутасиддханту» привезли ко двору халифа аль-Мансура в Багдад и перевели на арабский под названием «Синдхинд». Оттуда индийские цифры и правила счёта попали к аль-Хорезми, а от него — через Фибоначчи — в Европу.

Умер около 668 года.