Карта → событие
Фибоначчи: «Книга квадратов»
Не та книга, которую все знают
Леонардо Пизанский (ок. 1170 — ок. 1250), сын пизанского таможенного чиновника в Бужи (нынешняя Беджая в Алжире), выучил там индийские цифры и арабскую арифметику. Его «Liber Abaci» (1202) — та книга, что принесла в Европу позиционную запись и заодно задачу о кроликах; она стоит на карте отдельно, в линии искусства счёта.
Здесь речь о другой книге — «Liber Quadratorum», «Книге квадратов» (1225), посвящённой императору Фридриху II. Это чистая теория чисел, и по общему мнению историков — сильнейшее сочинение в этой области между Диофантом и Ферма. То есть ровно то, что заполняет главный провал линии: от Ибн аль-Хайсама до ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. шестьсот сорок лет.
Придворное состязание
Фридрих II, король Сицилии и император, держал двор, где математические состязания были развлечением наравне с турнирами. Придворный философ Иоанн Палермский предложил Леонардо несколько задач. Одна из них:
Найти квадратное число, которое остаётся квадратом при прибавлении и при вычитании пяти.
Речь о рациональных числах — иначе задача неразрешима. Леонардо даёт ответ:
$$x=\frac{41}{12}.$$
Проверим. $x^{2}=\dfrac{1681}{144}$, а $5=\dfrac{720}{144}$. Тогда
$$x^{2}+5=\frac{2401}{144}=\left(\frac{49}{12}\right)^{2},\qquad x^{2}-5=\frac{961}{144}=\left(\frac{31}{12}\right)^{2}. \quad\checkmark$$
Три числа $31^{2}$, $41^{2}$, $49^{2}$ — квадраты, стоящие в арифметической прогрессии с разностью 720.
Конгруумы
Леонардо не остановился на ответе, а поставил общий вопрос — и это превращает решение задачи в теорию.
Число $n$ называется конгруумом, если существует такое $x$, что $x^{2}-n$, $x^{2}$, $x^{2}+n$ — три квадрата.
Иначе говоря, конгруум — это разность арифметической прогрессии из трёх квадратов.
Леонардо находит общую формулу. Если $m>k>0$ целые, то
$$n=4mk\,(m+k)(m-k)$$
— конгруум. Наименьший получается при $m=2,k=1$: $n=24$, и прогрессия квадратов $1,\,25,\,49$ с разностью 24. А наш случай: $m=5$, $k=4$ дают $4\cdot5\cdot4\cdot9\cdot1=720$ — та самая разность.
Инструмент, которым он всё это делает, до обидного школьный: сумма первых нечётных чисел есть квадрат,
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^{2}.$$
Прибавляя к квадрату подходящий блок последовательных нечётных чисел, снова получаем квадрат; вся книга построена на аккуратной работе с такими блоками.
Пользуется он и тождеством о произведении сумм двух квадратов:
$$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.$$
Оно встречалось у ДиофантаДиофант АлександрийскийПервым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года. и у Брахмагупты; по существу это утверждение о мультипликативности нормы в кольце гауссовых целых, до появления которого оставалось шестьсот лет.
Предложение 14 и Ферма
Самое сильное место книги — утверждение, которое Леонардо доказывает на нескольких страницах:
Никакой конгруум не является полным квадратом.
Эквивалентно: не существует арифметической прогрессии из трёх квадратов, разность которой сама квадрат. Или ещё эквивалентнее: не существует прямоугольного треугольника с рациональными сторонами, площадь которого — квадрат.
А вот теперь то, ради чего эту точку стоит завести. Из этого утверждения непосредственно следует случай $n=4$ Великой теоремы Ферма: уравнение $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ решений не имеет. Именно этот случай — единственный, для которого доказательство Ферма до нас дошло; он получил его методом бесконечного спуска и опубликовано оно было посмертно, в 1670 году. Сегодня утверждение называют теоремой Ферма о прямоугольном треугольнике.
Честная оговорка, без которой хвастаться нечем: Леонардо утверждение сформулировал и привёл рассуждение, но современные историки расходятся в том, полно ли оно. Первым доказательством, которое принимается без оговорок, считается фермовское. Так что корректно сказать так: задача поставлена и по существу решена в Пизе в 1225 году, а безупречно доказана в Тулузе около 1640-го — ещё один случай соавторства через века, каких на этой линии множество.
Что из этого выросло
Вопрос Леонардо жив и сегодня, в чуть иной формулировке. Число $n$ называют конгруэнтным, если оно есть площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Пятёрка конгруэнтна: треугольник со сторонами $\frac{3}{2},\frac{20}{3},\frac{41}{6}$ имеет площадь 5 (и в его гипотенузе легко узнать наше $41/12$, умноженное на 2). Числа 1, 2, 3 неконгруэнтны — последнее и есть теорема Ферма.
Проблема конгруэнтных чисел. Описать все конгруэнтные числа.
Она не решена. Известно, что $n$ конгруэнтно тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая
$$y^{2}=x^{3}-n^{2}x$$
имеет бесконечно много рациональных точек, — то есть вопрос сводится к рангу эллиптической кривой. В 1983 году Джерролд Таннелл дал простой арифметический критерий, но его достаточность опирается на гипотезу Бёрча и Свиннертон-Дайера, входящую в задачи тысячелетия и не доказанную.
Получается изящная арка: задача, заданная ради развлечения при сицилийском дворе в 1225 году, упирается сегодня в одну из семи задач тысячелетия — и упирается через ту же теорию эллиптических кривых, которой закрыли теорему Ферма.
И последнее. Числа Фибоначчи из соседней книги тоже вошли в эту линию — дважды: они дают худший случай для алгоритма Евклида (теорема Ламе, 1844) и именно на них Матиясевич в 1970 году построил решение десятой проблемы ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти..
Задача. Проверьте, что $m=3$, $k=2$ дают конгруум 120, и найдите соответствующую прогрессию из трёх квадратов.
(Ответ: $4\cdot3\cdot2\cdot5\cdot1=120$; прогрессия $49,\,169,\,289$, то есть $7^{2},13^{2},17^{2}$ с разностью 120.)
Следующая точка: Тулуза — где судья, занимавшийся математикой на досуге, сформулирует половину предмета и почти ничего не докажет.