Европа · задача Иоанна Палермского
Квадрат, остающийся квадратом
Как звучало тогда
Найти квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на пять, остаётся квадратным.
Условие
Найти рациональное число, квадрат которого при прибавлении и при вычитании 5 остаётся квадратом рационального числа.
Показать ответ
$\left(\frac{41}{12}\right)^2=\frac{1681}{144}$; тогда $\frac{1681}{144}\pm5$ даёт $\left(\frac{49}{12}\right)^2$ и $\left(\frac{31}{12}\right)^2$
О чём эта задача
Числа, для которых такое возможно, называются конгруэнтными; 5 — наименьшее из них. Задача выглядит головоломкой, но ведёт прямо в современность: конгруэнтность числа равносильна тому, что у некоторой эллиптической кривой бесконечно много рациональных точек, а это гипотеза Бёрча и Свиннертона-Дайера, одна из семи задач тысячелетия. Полного ответа на вопрос, какие числа конгруэнтны, нет до сих пор.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.